3. WszechÂświat i jego geometryczne wzorce

Topologia w geometrii, szczegĂłlnie omawianej na tym forum, wydaje siĂŞ ÂłÂączyĂŚ bardzo wiele, od tetragramatonu nakÂładania figur i ich powielanie, po torusy i toroidy
Polecam teÂż ten tekst
http://ogigi.polsl.pl/biuletyny/zeszyt_7/mirski_kpl.pdf

WstĂŞga MĂśbiusa i aksjomat Pascha leÂżÂą u poczÂątkĂłw topologii, dyscypliny matematycznej zdajÂącej sprawĂŞ z najogĂłlniejszych zasad geometrii, ktĂłrej potrzebĂŞ przeczuwaÂł Leibniz, inspirowaÂł Gauss, a ktĂłrej powstanie przypada na drugÂą poÂłowĂŞ XIX wieku.

Jej siostrzycÂą jest topologia ogĂłlna - nazywana teÂż mnogoÂściowÂą - ktĂłrej motywacje siĂŞgajÂą Arystotelesa i ScholastykĂłw XIV wieku - ale ktĂłra w matematyce pojawiÂła siĂŞ w koĂącu wieku XIX jako zbiĂłr ÂśrodkĂłw dowodowych analizy i geometrii, a z poczÂątkiem naszego wieku wyodrĂŞbniÂła siĂŞ jako dyscyplina samodzielna. Bada obiekty mnogoÂściowe, wiĂŞc mogÂłaby byĂŚ uwaÂżana za gaÂłÂąÂź teorii mnogoÂści, ale sposĂłb traktowania zadaĂą jest taki, jak w powstaÂłej wczeÂśniej topologii geometrycznej.
Geometryczny nurt topologii rozwijaÂł siĂŞ - poczÂąwszy od Gaussa - pod wpÂływem potrzeb analizy. Teoria funkcji analitycznych postawiÂła zadanie wyeliminowania z rozwaÂżaĂą funkcji wielowartoÂściowych poprzez zinterpretowanie ich jako funkcji jednowartoÂściowych na powierzchniach nakrywajÂących ich dziedziny. Redukcje tego zagadnienia - nazywanego zagadnieniem uniformizacji - wiodÂły do twierdzenia nazywanego twierdzeniem o zachowaniu obszaru, ktĂłre miaÂło orzekaĂŚ, Âże podzbiĂłr otwarty przestrzeni euklidesowej, przeniesiony za pomocÂą homeomorfizmu punktowego w inne jej miejsce, nadal bĂŞdzie zbiorem otwartym. Twierdzenia dowiĂłdÂł Brouwer, nie baczÂąc, Âże problem uniformizacji zostaÂł rozstrzygniĂŞty wczeÂśniej przez Koebego na innej drodze. Jeden z wnioskĂłw tego twierdzenia orzekaÂł, Âże przestrzeni euklidesowych rĂłÂżniÂących siĂŞ wymiarami nie moÂżna odwzorowaĂŚ na siebie homeomorfizmem punktowym. UprawomocniÂło to stosowalnoÂśĂŚ metod mnogoÂściowych w geometrii. Prace Brouwera zawieraÂły poza tym rozwiniĂŞcie procedury aproksymacyjnej ÂłÂączÂącej metody istniejÂącej juÂż wczeÂśniej topologii symplicjalnej z metodami mnogoÂściowymi. DziĂŞki nim i programowej rozprawie Dehna i Heegarda, dotyczÂącej topologii wieloÂścianĂłw, topologia o ukierunkowaniu geometrycznym okreÂśliÂła siĂŞ jako dyscyplina niezaleÂżna od problemĂłw zewnĂŞtrznych.
Jej podkÂładem stricte geometrycznym byÂła topologia wieloÂścianĂłw - rozumianych jako bryÂły kompleksĂłw symplicjalnych - z ich odwzorowaniami kawaÂłkami liniowymi. Tu problemem staÂła siĂŞ wkrĂłtce hipoteza podstawowa - Hauptvermutung - wedÂług ktĂłrej dwie rozmaitoÂści wieloÂścienne, dajÂące siĂŞ odwzorowaĂŚ na siebie homeomorfizmem punktowym, miaÂły daĂŚ siĂŞ na siebie odwzorowaĂŚ homeomorfizmem kawaÂłkami liniowym. WczeÂśniejszym problemem byÂło to, czy rozmaitoÂści - rozumiane jako sumy mnogoÂściowe obszarĂłw euklidesowych tego samego wymiaru - mogÂą byĂŚ traktowane jako wieloÂściany, tj. czy sÂą triangulowalne. Hauptvemutung zapewniaÂłaby, Âże triangulacja jest w okreÂślonym sensie jedyna. ZapewniaÂłaby, Âże charakterystyka Eulera sumujÂąca ze znakami na przemian iloÂści sympleksĂłw traingulacji - kolejno wedÂług ich wymiarĂłw - nie zmienia siĂŞ, jeÂśli bryÂłĂŞ triangulacji poddaĂŚ przeksztaÂłceniu bĂŞdÂącemu homeomorfizmem punktowym. Problem triangulacji zostaÂł rozwiÂązany w wymiarze 2 w latach dwudziestych przez RadĂł, a w wymiarze 3 w latach czterdziestych przez Moise'a, ktĂłry potwierdziÂł Hauptvermutung do wymiaru 3. Mimo Âże w wymiarach wyÂższych Hauptvemutung jest nierozstrzygniĂŞta bÂądÂź faÂłszywa, to charakterystyka Eulera okazaÂła siĂŞ niezmienna przy homeomorfizmach punktowych; dziĂŞki wykorzystanej - poprzez teoriĂŞ homologii - metodzie aproksymacji symplicjalnej, sumowanie iloÂści sympleksĂłw moÂżna zastÂąpiĂŚ sumowaniem liczb Bettiego, ktĂłre sÂą niezaleÂżne od triangulacji.
Topologia mnogoÂściowa jest nie tylko dlatego inna, Âże jest mnogoÂściowa, lecz gÂłĂłwnie dlatego, iÂż nie stawia sobie niczego za cel. Jej charakter metafizyczny okreÂśliÂł Cantor w swoim manifeÂście matematyki wyzwolonej. ChociaÂż poczÂątkowo traktowana byÂła przede wszystkim jako pomoc w badaniu wÂłasnoÂści figur geometrycznych danych punktowo, to juÂż od lat trzydziestych obiekty, takie jak N, discontinua Cantora, przestrzenie normalne Moore'a, uwolniÂły topologiĂŞ mnogoÂściowÂą z wiĂŞzĂłw uÂżytkowoÂści. PatrzÂąc na ten okres topologii mnogoÂściowej, trudno nie poddaĂŚ siĂŞ nostalgii.
MĂłwiÂąc o wymiarze przestrzeni, myÂślimy o trzech wzajemnie prostopadÂłych wektorach, nie zwaÂżajÂąc na to, Âże fizycznoÂśĂŚ reperu trzech wektorĂłw ma uzasadnienie jedynie w naszych warunkach ziemskich, gdzie Ziemia w swojej pÂłaszczyÂźnie daje dwa z nich, a kierunek ciĂŞÂżaru trzeci. JeÂśliby nam przyszÂło rozwinÂąĂŚ cywilizacjĂŞ w miejscu, gdzie brak grawitacji, skÂąd wziĂŞÂłaby siĂŞ w naszym umyÂśle prostopadÂłoÂśĂŚ? Niech to pytanie bĂŞdzie sygnaÂłem wÂątÂłoÂści naszych przesÂłanek co do wyboru konwencji matematycznych, ktĂłre sÂą dalekie od uniwersalnoÂści. Mimo to wymiarem, opartym na pojĂŞciu reperu wzajemnie prostopadÂłych wektorĂłw, fizycy posÂługujÂą siĂŞ nie tylko w makroÂświecie, ale i w mikroÂświecie, o ktĂłrym juÂż Riemann pisaÂł, Âże zapewne rzÂądzi siĂŞ innÂą geometriÂą.
OdgaÂłĂŞzieniem topologii przestrzeni euklidesowych jest teoria kontinuĂłw, najpierw lokalnie spĂłjnych, ktĂłre sÂą figurami o dostatecznej regularnoÂści. Ale uwagĂŞ bardziej przyciÂągajÂą ich osobliwoÂści. Krzywa trĂłjkÂątowa SierpiĂąskiego - przy opisie globalnym - dostarcza nadal trudnych problemĂłw dotyczÂących jej zachowania siĂŞ przy odwzorowaniach. Krzywa Mengera ukazuje swoje rĂłÂżne nieoczekiwane oblicza, zaleÂżnie od poÂłoÂżenia w przestrzeni. Ale jeszcze osobliwsze jest zachowanie siĂŞ pseudoÂłuku - continuum dziedzicznie nierozkÂładalnego wĂŞÂżowego. Jest ono homeomorficzne z kaÂżdym swoim podcontinuum wielopunktowym, na ktĂłre moÂżna je zretrahowaĂŚ - w czym jest podobne do odcinka - ale - podobnie jak okrÂąg - jest przestrzeniÂą jednorodnÂą. Ma na sobie nietoÂżsamoÂściowe inwolucje ciÂągÂłe dowolnie bliskie toÂżsamoÂści. NiektĂłre z kontinuĂłw wĂŞÂżowych - przy pewnych poÂłoÂżeniach na pÂłaszczyÂźnie - sÂą atraktorami homeomorfizmĂłw pÂłaszczyzny, ale nie wiadomo, czy atraktorem moÂże byĂŚ pseudoÂłuk. WspĂłlne brzegi trzech obszarĂłw - jezior Wady - zapoczÂątkowaÂły dyscyplinĂŞ, ktĂłra atrakcyjnoÂściÂą porĂłwnywalna jest z teoriÂą liczb.
http://www.wiw.pl/delta/wiek.asp
Teoria wĂŞzÂłĂłw

SzczegĂłlnÂą gaÂłĂŞziÂą topologii rozmaitoÂści jest teoria wĂŞzÂłĂłw, ktĂłra zajmuje siĂŞ krzywymi zwykÂłymi zamkniĂŞtymi, zanurzonymi w przestrzeni trĂłjwymiarowej. O ile w przestrzeniach dwuwymiarowych, a takÂże cztero- i wiĂŞcej wymiarowych kaÂżda taka krzywa daje siĂŞ bez rozcinania przeksztaÂłciĂŚ w okrÂąg, to w przestrzeni trĂłjwymiarowej istnieje nieskoĂączona liczba takich nierĂłwnowaÂżnych krzywych, zwanych wĂŞzÂłami. Najprostszy z nich (oprĂłcz trywialnego okrĂŞgu) to koniczynka, pokazana wyÂżej.

Teoria wĂŞzÂłĂłw zajmuje siĂŞ teÂż poÂłoÂżeniem w trĂłjwymiarowej przestrzeni euklidesowej skoĂączonych ukÂładĂłw krzywych zamkniĂŞtych badajÂąc przy tym sposĂłb ich zaczepienia. OprĂłcz wspomnianych wĂŞzÂłĂłw jednowymiarowych, rozwijana jest takÂże teoria wĂŞzÂłĂłw wielowymiarowych,

Topologiczna teoria wymiaru

Teoria wymiaru topologicznego znajduje siĂŞ na granicy topologii ogĂłlnej i algebraicznej.
Kiedy Peano odkryÂł odwzorowanie ciÂągÂłe odcinka domkniĂŞtego na kwadrat, powstaÂło niepokojÂące pytanie, czy topologia w ogĂłle jest w stanie rozrĂłÂżniĂŚ wyÂżej wymiarowe przestrzenie euklidesowe, czy przypadkiem przestrzenie cztero- i piĂŞciowymiarowe nie sÂą homeomorficzne. Problem ten rozstrzygnÂąÂł Brouwer, dowodzÂąc niehomeomorficznoÂści przestrzeni euklidesowych o rĂłÂżnym wymiarze. Brouwer byÂł jednym z gÂłĂłwnych prekursorĂłw topologicznej teorii wymiaru, stworzonej przez Urysohna i Mengera.
Teoria wymiaru przypisuje przestrzeniom topologicznym liczbĂŞ caÂłkowitÂą ≥ -1. Istnieje wiĂŞcej niÂż jedno pojĂŞcie wymiaru, sÂą to m.in. klasyczne funkcje dim, ind i Ind oraz pewne algebraicznie subtelne definicje. Jednak wszystkie te funkcje przypisujÂą wymiar rĂłwny -1 tylko i wyÂłÂącznie przestrzeni pustej, z kolei wymiar zerowy majÂą wszystkie przestrzenie dyskretne, ale nie tylko one. Wszystkie trzy powyÂższe funkcje pokrywajÂą siĂŞ w zakresie przestrzeni polskich (czyli metrycznych, oÂśrodkowych).
Nawet w tym ograniczonym zakresie wymiar topologiczny rĂłÂżni siĂŞ cechami od algebraicznego lub geometrycznego. W przypadku przestrzeni liniowych lub zbiorĂłw i rozmaitoÂści algebraicznych, podobnie jak w przypadku wieloÂścianĂłw, wymiar ma wÂłasnoÂśĂŚ logarytmicznÂą: wymiar iloczynu kartezjaĂąskiego jest rĂłwny sumie wymiarĂłw czynnikĂłw. Topologia, nawet przestrzeni polskich, zajmuje siĂŞ znacznie bogatszÂą rodzinÂą obiektĂłw i prawo logarytmiczne w topologii nie zachodzi, co pokazuje piĂŞkny przykÂład pochodzÂący od ErdĂľsa:

PrzestrzeĂą wszystkich ciÂągĂłw klasycznej przestrzeni Hilberta o wymiernych wspĂłÂłrzĂŞdnych, ktĂłra jest jednowymiarowa, a jej kwadrat jest homeomorficzny z niÂą samÂą. Zgodnie z prawem logarytmicznym druga przestrzeĂą powinna mieĂŚ wymiar 1+1, ale ma wymiar 1. Trudniej o takie przykÂłady w przypadku zwartych przestrzeni metrycznych. Ich wymiar dim musi wynosiĂŚ co najmniej dwa. PrzykÂład dwĂłch przestrzeni o wymiarze dwa, ale wymiarze ich iloczynu wynoszÂącym trzy podaÂł Pontriagin, a BoÂłtiaĂąski skonstruowaÂł takÂą zwartÂą, dwuwymiarowÂą przestrzeĂą metrycznÂą, ktĂłrej kwadrat wynosi trzy. Prawo logarytmiczne jest jednym z szeregu problemĂłw teorii wymiaru.

Topologiczna teoria wymiaru jest (w duÂżej mierze) zawarta w teorii funkcji uniwersalnych,
KsztaÂłt WszechÂświata jest jednym z zakresĂłw zainteresowania kosmologii. Kosmologowie i astronomowie rozumiejÂą przez to pojĂŞcie zarĂłwno lokalnÂą geometriĂŞ jak i geometriĂŞ caÂłoÂści WszechÂświata. Geometria globalna w skrĂłcie zwana jest topologiÂą, chociaÂż ÂściÂśle rzecz biorÂąc wybiega poza topologiĂŞ.

KsztaÂłt WszechÂświata nie odnosi siĂŞ do zakrzywienia przestrzeni w pobliÂżu gĂŞstej masy, a rozwaÂżane geometrie zakÂładajÂą raczej rĂłwnomierny rozkÂład masy. Dane astronomiczne wskazujÂą, Âże mimo pewnej niejednorodnoÂści i anizotropowoÂści struktury kosmosu w wielkiej skali, caÂły obserwowalny WszechÂświat jest (uÂśredniajÂąc) jednorodny, izotropowy i rozszerza siĂŞ jednostajnie lub w tym rozszerzaniu przyÂśpiesza.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Topologia

TOPOLOGICZNY MODEL WEKTOROWY

W prostym modelu wektorowym obiekty opisywane sÂą bezpoÂśrednio przez ciÂągi wspĂłÂłrzĂŞdnych punktĂłw. Jest to opis kompletny pod wzglĂŞdem geometrycznym, ale nie dajÂący bezpoÂśrednio informacji o wzajemnym powiÂązaniu obiektĂłw miĂŞdzy sobÂą. Ewentualne powiÂązania miĂŞdzy obiektami (np. sÂąsiedztwo) mogÂą byĂŚ wykrywane jedynie przez zastosowanie geometrii analitycznej. Inaczej sytuacja wyglÂąda w topologicznym modelu wektorowym, ktĂłry oprĂłcz informacji geometrycznych definiujÂących poÂłoÂżenie I ksztaÂłt obiektĂłw zawiera rĂłwnieÂż informacje o wzajemne powiÂązania miĂŞdzy obiektami. W topologicznym modelu wektorowym wyodrĂŞbnia siĂŞ trzy rodzaje elementĂłw topologicznych:

• zerowymiarowe - punkty wĂŞzÂłowe,

• jednowymiarowe - linie graniczne,

• dwuwymiarowe - obszary,
http://209.85.135.132/search?q=cache:_08wOLJG-I4J:aragorn.pb.bialystok.pl/~dmalyszko/GIS2008.2009/gis2008_L4.ppt+topologia+w%C4%99z%C5%82%C3%B3w&cd=4&hl=pl&ct=clnk&gl=pl&client=firefox-a