6. "Cyrklem i linijką" - rysunki i szablony

[Leszek]

W tym dziale znajduj¹ siê szablony, konstrukcje ró¿nych figur geometrycznych oraz ciekawe rysunki, zdjêcia i animacje zwi¹zane ze œwiêt¹ geometri¹.


Na poczÂątek szablony piĂŞciu bryÂł platoĂąskich...
Gotowe do wyciĂŞcia i sklejenia. Sprawdzone. DziaÂła.
(Kliknij na obrazek, aby go powiĂŞkszyĂŚ. NastĂŞpnie zapisz go na dysku - prawym przyciskiem myszy "Zapisz obrazek jako...").

[Leszek]

Jak w prosty sposĂłb narysowaĂŚ piĂŞciokÂąt rĂłwnoboczny. |    Jak narysowaĂŚ trĂłjkÂąt rĂłwnoboczny.
                       
Rysujemy kolejno:
3 koÂła (a,b,c)
4 proste (cd, ef, g,h + liniĂŞ poziomÂą) Prosta cd wyznacza punkt 0
krawĂŞdzie piĂŞciokÂąta
i... pentagram

Inny sposĂłb rysowania piĂŞciokÂąta foremnego

Rysujemy kolejno:
- liniĂŞ A,B
- na linii okrÂąg
- od punktu B (tym samym rozstawem cyrkla, ktĂłrym rysowaliÂśmy okrÂąg) oznaczamy punkty 1 i 2 na okrĂŞgu, aby wyznaczyĂŚ punkt 3 przecinajÂący liniĂŞ
- od punktĂłw A i B wyznaczamy punk C
- ³¹czymy C ze œrodkiem okrêgu, by stworzyÌ punkt D
- od punktu 3 robimy Âłuk D,E
- od punku D robimy Âłuk E,F.
CiĂŞciwa  D, E jest bokiem piĂŞciokÂąta foremnego.

Jak (w prosty sposĂłb) narysowaĂŚ kwadrat.       Jak narysowaĂŚ szeÂściokÂąt (promieĂą = bok).
   
Rysujemy kolejno (dot. kwadratu):
- prostÂą A,B
- cyrklem wyznaczamy punkt C
- ³¹czymy C ze œrodkiem okrêgu, by stworzyÌ punkty D i E.
- ³¹czymy A,D,B,E i mamy kwadrat.

Inny sposĂłb rysowania kwadratu.
 
Rysujemy kolejno:
- liniĂŞ A,B
- wbijamy cyrkiel pod linia AB,B, mniej wiĂŞcej w poÂłowie tej linii
- rysujemy co najmniej pó³ okrêgu o promieniu O, A
- ³¹czymy C i D
- od punktu A przez punkt D rysujemy prost¹ prostopad³¹
- odmierzamy cyrklem bok A,B i tworzymy bok A,E, a nastĂŞpnie boki E,F i B,F.
 Gdy mamy juÂż narysowany kÂąt prosty moÂżemy stworzyĂŚ kwadrat dowolnej wielkoÂści.

Jeszcze inny sposĂłb rysowania kwadratu.



Rysunek koÂła i kwadratu o takim samym obwodzie                                    Proporcja FI i ZÂłoty ProstokÂąt zawarte w rysunku

Rysujemy kolejno:
- liniĂŞ E,F
- okrÂąg nr 2 i 3 (promieĂą koÂła nr 3 jest ÂśrednicÂą koÂła nr 2)
- cyrklem wyznaczmy punkt 4
- ³¹czymy punkt 4 ze œrodkiem okrêgu, by stworzyÌ punkty B i C
- promieniem okrĂŞgu nr 3 wyznaczamy boki kwadratu
- ³¹czymy punkt C ze œrodkiem okrêgu nr 2, by stworzyÌ punkt D
- z punktów C i B rysujemy ³uki ³¹cz¹ce punkty E i F
- z punktu A rysujemy zewnĂŞtrzny okrÂąg.

PowyÂższe koÂło z kwadratem bez zbĂŞdnych linii pomocniczych oraz efekt koĂącowy.



Podstawowe pojĂŞcia

http://pl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%82o_(geometria)

[Leszek]

ZÂłoty odcinek, zÂłoty prostokÂąt, zÂłota spirala.



Rysowanie zÂłotego odcinka

Najprostszy sposĂłb polega na uÂżyciu jednej (czerwonej) linii i czterech okrĂŞgĂłw.
Linia niebieska to zÂłoty podziaÂł odcinka...


Inne metody

1) Odcinek AB=1 dzielimy na pó³
2) Kreœlimy prost¹ BC=1/2 prostopad³¹ do AB
3) Zamykamy trĂłjkÂąt przy pomocy przeciwprostokÂątnej
4) Z punktu C kreÂślimy Âłuk o promieniu BC=1/2 przecinajÂący przeciwprostokÂątnÂą
5) z punktu A kreÂślimy Âłuk, ktĂłry przecina odcinek AB tworzÂąc zÂłoty podziaÂł odcinka


Odcinek AB dzielimy na po³owy i znajdujemy punkt S. Kreœlimy prost¹ prostopad³¹ do AB
w punkcie A. OdkÂładamy na tej prostej odcinek AC o dÂługoÂści rĂłwnej |AB|.
Z punktu C kreœlimy ³uk o œrodku w punkcie S do przeciêcia z pó³prost¹ BA - znajdujemy
punkt E. Na odcinku AB odkÂładamy punkt D tak by |EA| = |AD|.

Na podstawie "Poradnik InÂżyniera" Matematyka Wyd. NT 1971r.
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2517

ZÂłoty podziaÂł odcinka otrzymasz rysujÂąc zÂłoty prostokÂąt, choĂŚ istniejÂą teÂż inne sposoby.

To co powyÂżej, ale jako animacja.


Dodaj¹c kolejne kwadraty tworzymy kolejne z³ote prostok¹ty. Proces trwa w nieskoùczonoœÌ.


Wyjœciowy kwadrat mo¿na podzieliÌ na pó³ okrêgami lub skromniej - punkty E i F na kolejnym rysunku.


Inny sposĂłb rysowania ZÂłotych ProstokÂątĂłw
Linie przerywane i koÂła pokazujÂą jak rysuje siĂŞ ZÂłoty ProstokÂąt wyjÂściowy
i kolejne ZÂłote ProstokÂąty, wpisane w prostokÂąt wyjÂściowy. (Wszystkie zachowujÂą proporcje prostokÂąta wyjÂściowego.)



Tworzenie samopodobnych (fraktalnych) ZÂłotych ProstokÂątĂłw i ZÂłotej Spirali.


Dla zainteresowanych.


Powstawanie "zÂłotych ciĂŞĂŚ" na bokach kwadratu:

Rysujemy kolejno:
- kwadrat A,B,C,D
- cyrklem wyznaczamy E i F, aby wyznaczyĂŚ punkt G
- z punktu G rysujemy Âłuki A,A` oraz B, B`
- z punktu D rysujemy Âłuk A`,A``
- z punktu C rysujemy Âłuk B`, B``
- tym samym rozstawem cyrkla odmierzamy odcinek A,H

To samo z wyÂżej, ale z dorysowanym ZÂłotym ProstokÂątem.

[Leszek]

Symbol TAO.
 
TAO (...) — podstawowe pojĂŞcie filozofii chiĂąskiej, kluczowe dla taoizmu, ale uÂżywane rĂłwnieÂż przez inne kierunki m.in. konfucjanizm.
W zaleÂżnoÂści od autora i szkoÂły terminowi tao przypisywane sÂą bardzo roÂżne znaczenia,
od „uniwersalnej zasady kierujÂącej wszechÂświatem” po „metodĂŞ postĂŞpowania [danej osoby]”.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tao

Czy maÂłe okrĂŞgi sÂą toÂżsame z duÂżymi?

[Leszek]

Odcinki (3, 4, 5), pÂłaszczyzny (trĂłjkÂąt i kwadraty)
i twierdzenie Pitagorasa:

Twierdzenie Pitagorasa:
"Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokÂątnej trĂłjkÂąta prostokÂątnego
jest rĂłwne sumie pĂłl kwadratĂłw zbudowanych na przyprostokÂątnych."
Innymi sÂłowy:
http://www-users.mat.uni.torun.pl/~monia/mg]

[Leszek]

[Leszek]

W dwudziestoÂścianie znajdziesz trzy idealnie wpisane w niego ZÂłote ProstokÂąty.



OgieĂą Âżycia oparty na Phi

[Leszek]

Spirale, fraktale i krzywa Kocha



http://thecleaver.blogspot.com/2008/06/go-your-own-way-gnosis-and-fractal.html#809189D2-7517-4af1-BAF0-1A36C3BB8640&command=%20m_objCurrentDocument.getElementById(%27globalWrapper%27).style.position%3D%27relative%27%3B

Krzywa Kocha


7 pierwszych krokĂłw algorytmu generujÂącego krzywÂą Kocha.

PÂłatek Âśniegowy Kocha


http://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_Kocha

[Leszek]

Dwa czworoÂściany tworzÂą CzworoÂścian GwiaÂździsty (a) LUB
- gdy "otworzÂą" swoje trzy trĂłjkÂątne Âściany - OÂśmioÂścian...(D)

[VAV EL]

ZrobiÂłem 3 "najciekawsze" ujĂŞcia tetraedru gwieÂżdzistego korzystajÂąc z modelu krysztaÂłowego (taki  tylko mam  ) W zaleÂżnoÂści od kÂąta z ktĂłrego obserwujemy  tworzy rĂłzne figury, choĂŚ to ten sam model. Warto byÂłoby  zawsze go mieĂŚ pod rĂŞkÂą  , w 2D jest ciĂŞÂżko  wyobraziĂŚ sobie  "magiĂŞ" tego ksztaÂłtu.





kliknij obrazek aby powiĂŞkszyĂŚ

DodawaÂłem juÂż tego linka gdzies na to forum, ale jeszcze raz :
http://www.theosopher.com/indexfiles/daat.html
klikajÂąc w okienko i przesuwajÂąc myszkÂą moÂżemy dokÂładnie obejrzeĂŚ sobie jak wyglÂądajÂą cienie 2D tej figury


Jest  taki  do wycinania i sklejenia (jak w pierwszym poÂście Leszka) Melchizedek dodaÂł do swojej ksi¹¿ki taki model , ale niestety jest z b³êdem i nie daje siĂŞ z niego skleiĂŚ figury.Ten chyba jest ok.



 Jako pierwszy opisaÂł go Luca Pacioli w dziele "De divina proportione" z lat 1496–98, ktĂłry poczÂątkowo nazwaÂł go octahedron elevatus. Sto lat póŸniej w 1609 roku Johanes Kepler nazwaÂł go  stella octangula