Fizyka kwantowa

To, co czÂłowiek widzi, zaleÂży zarĂłwno od tego, na co patrzy, jak i od tego, co nauczyÂł siĂŞ dostrzegaĂŚ w swym dotychczasowym doÂświadczeniu wizualnym i pojĂŞciowym.
-- T. S. Kuhn, "Struktura rewolucji naukowych", r.3

Od wczesnego dzieciĂąstwa przyzwyczajamy siĂŞ do otaczajÂącego nas Âświata - takiego, jaki spostrzegamy naszymi zmysÂłami. W tym okresie wytwarzamy w sobie podstawowe pojĂŞcia przestrzeni, czasu i ruchu. UmysÂł nasz przywyka do tych pojĂŞĂŚ, tak, iÂż zbudowana na nich koncepcja Âświata wydaje siĂŞ nam jedynÂą moÂżliwÂą, zaÂś to, co do tej koncepcji nie przystaje, umieszczamy w kategoriach paradoksĂłw.
Tymczasem wiek XX przyniĂłsÂł mnĂłstwo przeÂłomowych zmian w dziedzinie postrzegania Âświata. DziĂŞki pracom takich fizykĂłw jak na przykÂład Planck, Einstein czy Bohr, oraz dziĂŞki licznym doÂświadczeniom, klasyczny porzÂądek Âświata zatrzÂąsÂł siĂŞ w posadach. OkazaÂło siĂŞ bowiem, Âże to, co spostrzegamy naszymi zmysÂłami jest jedynie wÂąskim wycinkiem dostĂŞpnej (a wÂłaÂściwie niedostĂŞpnej) rzeczywistoÂści.

Zasady mechaniki kwantowej sÂą obecnie paradygmatem fizyki i chemii. Wraz ze SzczegĂłlnÂą teoriÂą wzglĂŞdnoÂści mechanika kwantowa jest podstawÂą opisu wszelkich zjawisk fizycznych.

Nierelatywistyczna mechanika kwantowa pozostaje sÂłuszna, dopĂłki stosuje siĂŞ jÂą w odniesieniu do ciaÂł poruszajÂących siĂŞ z prĂŞdkoÂściami duÂżo mniejszymi od prĂŞdkoÂści ÂświatÂła. Jej uogĂłlnieniem prĂłbowaÂła byĂŚ relatywistyczna mechanika kwantowa, ale ostatecznie okazaÂło siĂŞ, Âże takie uogĂłlnienie musi mieĂŚ postaĂŚ kwantowej teorii pola.

Mechanika kwantowa zostaÂła stworzona niezaleÂżnie przez Wernera Heisenberga i Erwina SchrĂśdingera w 1925 r. ZostaÂła szybko rozwiniĂŞta dziĂŞki pracom Maxa Borna i Paula Diraca. Jeszcze przed powstaniem ostatecznej wersji mechaniki kwantowej prekursorskie prace teoretyczne stworzyli Albert Einstein i Niels Bohr. Jej wersjĂŞ obejmujÂąca teoriĂŞ pĂłl kwantowych doprowadzili do ostatecznej formy Richard Feynman i inni.

Odkrycia Plancka czy Bohra, oraz niezwykle ÂśmiaÂłe teorie Einsteina czy de Broglie'a stworzyÂły nowÂą fizycznÂą rzeczywistoÂśĂŚ. Oto bowiem klasyczne pojĂŞcia przestrzeni, ruchu i czasu ulegÂły nadzwyczajnej rewizji, przyroda zaczĂŞÂła okazywaĂŚ swoje prawdziwe, dÂługo skrywane oblicze, ktĂłre wprawiaÂło w zdumienie nawet samych uczonych. Heisenberg na krĂłtko przed podaniem swojej zasady nieoznaczonoÂści miaÂł postawiĂŚ pytanie: "czyÂżby przyroda mogÂła byĂŚ tak absurdalna, jak ukazywaÂła siĂŞ nam w eksperymentach atomowych?".

Ta niezwykÂłoÂśĂŚ praw rzÂądzÂących przyrodÂą zawsze byÂła, jest i bĂŞdzie przyczynÂą powstawania wielu wÂątpliwoÂści, paradoksĂłw i pozornych nieÂścisÂłoÂści. Jednak moÂżliwoÂści ludzkiego umysÂłu siĂŞgajÂą na tyle daleko, Âże z pozornie bezÂładnej ukÂładanki doÂświadczeĂą i wnioskĂłw, z pozornie niezgodnych teorii i paradoksalnych propozycji, ludzie potrafiÂą stworzyĂŚ ÂścisÂły i zwiĂŞzÂły opis zjawisk przyrodniczych. UpĂłr, determinacja i konsekwencja sÂą bowiem wpisane w ludzkÂą naturĂŞ rĂłwnie silnie, jak wszystkie odwieczne (te odkryte i te jeszcze nieodkryte) prawa przyrody sÂą wpisane w naturĂŞ wszechÂświata...

Rok 1927 moÂżna uznaĂŚ za rok przeÂłomowy. Heisenberg podaÂł wĂłwczas swojÂą zasadĂŞ nieoznaczonoÂści, Davisson i Germer doÂświadczalnie potwierdzili falowÂą naturĂŞ czÂąstek (elektronĂłw), a Born dokonaÂł interpretacji funkcji falowej Schrodingera, dokÂładajÂąc tym samym ostatni element do ukÂładanki zwanej "teoriÂą kwantĂłw". Zasady i prawa, jakie rzÂądzÂą nowÂą - kwantowÂą mechanikÂą, moÂżna ujÂąĂŚ w sposĂłb spĂłjny w postaci kilku postulatĂłw.
Postulat pierwszy

Dowolnej, dobrze okreÂślonej obserwabli w fizyce (A), odpowiada operator (A*) taki, Âże w wyniku pomiaru tej obserwabli (A) otrzymujemy wartoÂści pomiarowe (a), ktĂłre sÂą zarazem wartoÂściami wÂłasnymi operatora (A*).

CĂłÂż to oznacza? Na poczÂątek wyjaÂśnijmy nieco pojĂŞĂŚ. Obserwabla (brzmi niezwykle powaÂżnie) to nic innego jak wielkoÂśĂŚ fizyczna, ktĂłrÂą moÂżemy zaobserwowaĂŚ (zmierzyĂŚ). PojĂŞcie operatora ma tutaj znaczenie matematyczne, wiĂŞc na gruncie fizycznym moÂżna przyjÂąĂŚ, Âże jest to pewna abstrakcyjna "wielkoÂśĂŚ", ktĂłra dziaÂła na przyporzÂądkowanÂą sobie obserwablĂŞ, czyniÂąc jÂą innÂą niÂż pierwotnie.
W tym ujĂŞciu pierwszy postulat mechaniki kwantowej mĂłwi nam, Âże w rzeczywistoÂści niemoÂżliwe jest dokonanie dokÂładnego pomiaru jakiejkolwiek wielkoÂści fizycznej. Pomiar kaÂżdej bowiem wielkoÂści obarczony bĂŞdzie bÂłĂŞdem wprowadzonym przez nasz abstrakcyjny "operator". Fizycznie odpowiada za to dobrze znany kwant ÂświatÂła (foton), ktĂłry jak wiemy odbijajÂąc siĂŞ od dowolnego przedmiotu, zmienia jego poÂłoÂżenie w przestrzeni i to w sposĂłb zupeÂłnie nieprzewidywalny (przypadkowy). Tym samym "to co zobaczymy" (to co zmierzymy), nie bĂŞdzie juÂż rzeczywistym obrazem dowolnego przedmiotu, a raczej jego "miraÂżem" - zÂłudzeniem... O tym wÂłaÂśnie nam mĂłwi postulat pierwszy.

Postulat drugi

Pomiar obserwabli (A) dajÂący w wyniku wartoÂśĂŚ (a) pozostawia ukÂład w stanie (f), gdzie (f) jest funkcjÂą wÂłasna operatora (A*)

Tym razem sprawa wydaje siĂŞ prosta. KaÂżdy pomiar dowolnej wielkoÂści fizycznej wywiera trwaÂły wpÂływ na caÂły mierzony ukÂład fizyczny. JeÂśli na przykÂład zechcemy zmierzyĂŚ wartoÂśĂŚ pĂŞdu (ktĂłry jest obserwablÂą) dla przelatujÂącego samolotu, musimy byĂŚ Âświadomi, Âże nie tylko tym samym wpÂłyniemy na wynik pomiaru (wypaczajÂąc go oczywiÂście) lecz rĂłwnieÂż zakÂłĂłcimy dalszy ruch samolotu, ktĂłry juÂż nie poleci po pierwotnym torze. Ile bĂŞdzie wynosiĂŚ odchylenie samolotu spowodowane naszÂą obserwacjÂą? Uwaga!! W sporym uproszczeniu moÂżemy przyjÂąĂŚ, Âże trajektoria samolotu zmieni siĂŞ o ok... 0,000000000000000000000000000000000005 m.

Zatem moÂżemy ÂśmiaÂło dokonywaĂŚ pomiarĂłw na samolotach, bez obawy, Âże spowodujemy jakÂąÂś katastrofĂŞ lotniczÂą. ZawdziĂŞczamy to obowiÂązujÂącej w naszym wszechÂświecie bardzo maÂłej wartoÂści staÂłej Plancka (zwanej rĂłwnieÂż staÂłÂą kwantowÂą). Gdyby jednak masa samolotu byÂła porĂłwnywalna z masÂą elektronu, lub gdyby staÂła Plancka byÂła kilka rzĂŞdĂłw wielkoÂści wiĂŞksza, to za swoje eksperymenty trafilibyÂśmy pewnie do wiĂŞzienia...
Postulat trzeci

Stan ukÂładu w dowolnej chwili moÂże reprezentowaĂŚ funkcja stanu (inaczej funkcja falowa), w ktĂłrej zawarte sÂą wszystkie informacje dotyczÂące stanu ukÂładu.

Jak zapewne pamiĂŞtamy, pojĂŞcie funkcji falowej zostaÂło wprowadzone przez Schredingera i rzucaÂło pomost pomiĂŞdzy wÂłaÂściwoÂści "materialne" czÂąstek i ich falowe odpowiedniki. Zapewne pamiĂŞtamy teÂż, jakÂą interpretacjĂŞ tej funkcji zaproponowaÂł Born, ktĂłry do mechaniki kwantowej wprowadziÂł pojĂŞcie gĂŞstoÂści prawdopodobieĂąstwa. Postulat trzeci mechaniki kwantowej w zasadzie odnosi siĂŞ do odkryĂŚ tych dwĂłch uczonych.

Rozpatrzmy nastĂŞpujÂący przykÂład: zaÂłĂłÂżmy, Âże w pewnym eksperymencie mierzymy dowolnÂą obserwablĂŞ (A). ZaÂłĂłÂżmy rĂłwnieÂż, Âże przygotowaliÂśmy duÂżÂą liczbĂŞ takich eksperymentĂłw (tak, aby eksperyment wykonaĂŚ n razy), i tak, aby w kaÂżdym eksperymencie uzyskaĂŚ idealnie takie same warunki poczÂątkowe pomiaru. W ustalonej chwili t mierzymy obserwablĂŞ (A) we wszystkich eksperymentach jednoczeÂśnie. Otrzymamy oczywiÂście zbiĂłr n podobnych, ale nie identycznych wynikĂłw. Postulat trzeci mĂłwi nam, Âże Âśrednia wartoÂśĂŚ dowolnej obserwabli (wielkoÂści) fizycznej zwiÂązanej z ukÂładem w chwili t powinna byĂŚ rĂłwna Âśredniej arytmetycznej wszystkich takich hipotetycznych pomiarĂłw. ÂŚrednia taka nosi nazwĂŞ wartoÂści oczekiwanej obserwabli. Jest to doÂśĂŚ pokrĂŞtne tÂłumaczenie, ale bez wprowadzania pojĂŞĂŚ matematycznych prawdopodobnie nie da siĂŞ tego proÂściej przedstawiĂŚ.

MoÂżemy tutaj (za Bornem) mĂłwiĂŚ rĂłwnieÂż o prawdopodobieĂąstwie znalezienia w pomiarze wielkoÂści (A) konkretnej oczekiwanej wartoÂści. ZaÂłĂłÂżmy, Âże znamy funkcjĂŞ stanu danej czÂąstki (ukÂładu) w okreÂślonej chwili i Âże potrafimy wyznaczyĂŚ wartoÂśĂŚ oczekiwanÂą dowolnej obserwabli tej czÂąstki (ukÂładu). MoÂżemy sobie teraz postawiĂŚ pytanie: jakÂą mamy pewnoÂśĂŚ, Âże w pomiarze naszej obserwabli otrzymamy wartoÂśĂŚ rĂłwnÂą wartoÂści oczekiwanej? PÂłynÂąca z postulatu trzeciego idea nakazywaÂłaby dokonanie moÂżliwie duÂżej liczby identycznych pomiarĂłw, aby zredukowaĂŚ niepewnoÂśĂŚ otrzymanego wyniku.
Postulat czwarty

Funkcja stanu (funkcja falowa) ukÂładu (np. pojedynczej czÂąstki) zaleÂży od czasu.

Postulat ten jest w zasadzie rozszerzeniem postulatu trzeciego. Wiemy z niego Âże dowolny ukÂład fizyczny moÂżemy opisaĂŚ w dowolnej chwili za pomocÂą funkcji stanu (funkcji falowej). Jednak jeÂśli dobrze pamiĂŞtamy, Schredinger "dopieszczajÂąc" swoje rĂłwnanie wprowadziÂł doĂą jeszcze jednÂą zmiennÂą - energiĂŞ potencjalnÂą - i uzaleÂżniÂł jÂą od czasu. To ostateczne rĂłwnanie opisuje wprawdzie ruch (stan) dowolnej czÂąstki (ukÂładu) poruszajÂącej siĂŞ z prĂŞdkoÂściÂą mniejszÂą od prĂŞdkoÂści ÂświatÂła, ale narzuca teÂż nam, jako obserwatorom pewnÂą trudnoÂśĂŚ. Wynika zeĂą bowiem, Âże stan kaÂżdego ukÂładu zmienia siĂŞ z kaÂżdÂą mijajÂącÂą chwilÂą (wypadaÂłoby tu powiedzieĂŚ "kwantem czasu").

Tak wiĂŞc seria jakichkolwiek pomiarĂłw (tak jak np. w powyÂższych przykÂładach) musi siĂŞ zmieÂściĂŚ w owym "kwancie czasu", w przeciwnym wypadku ulegnie zmianie stan ukÂładu. W teorii brzmi to byĂŚ moÂże obco, ale "ograniczenia pomiarowe" wynikajÂące szczegĂłlnie z ostatnich dwĂłch postulatĂłw z pewnoÂściÂą nastrĂŞczajÂą wysiÂłku naukowcom planujÂącym eksperymenty atomowe.

I w bardziej Akademicka interpretacja
Zwyczajowo, podstawy mechaniki kwantowej formuÂłowane sÂą w postaci kilku postulatĂłw, ktĂłrych numeracja i konkretna postaĂŚ sÂą rĂłÂżne w rĂłÂżnych ujĂŞciach. W niniejszym zbiorze za punkt wyjÂścia przyjmujemy nastĂŞpujÂące sformuÂłowanie:
Postulat 1
Stan ukÂładu kwantowo-mechanicznego opisany jest przez funkcjĂŞ ),,.....,(21tqqqfnΨ wspĂłÂłrzĂŞdnych n czÂąstek zawartych w ukÂładzie (przy czym kaÂżda czÂąstka ma f stopni swobody) oraz czasu, lub funkcjĂŞ pĂŞdĂłw wszystkich czÂąstek zawartych w ukÂładzie oraz czasu. Funkcja ta nosi nazwĂŞ funkcji falowej w reprezentacji, odpowiednio, wspĂłÂłrzĂŞdnych lub pĂŞdĂłw, i jest zdefiniowana przez tĂŞ wÂłaÂściwoÂśĂŚ, Âże kwadrat jej moduÂłu zadaje gĂŞstoÂśĂŚ prawdopodobieĂąstwa (w),,.....,(21tpppfnΦq lub wp) znalezienia ukÂładu w danym punkcie przestrzeni konfiguracyjnej lub pĂŞdowej:
),,.....,(),,.....,(),,.....,(*2122121tqqqwtqqqtqqqnqnn=Ψ=ΨΨ [W.3.1a]
),,.....,(),,.....,(),,.....,(*2122121tpppwtppptpppnpnn=Φ=ΦΦ [W.3.1b]
Postulat 2
zadaje relacjĂŞ pomiĂŞdzy funkcjami falowymi w reprezentacji wspĂłÂłrzĂŞdnoÂściowej i w reprezentacji pĂŞdowej, mianowicie ∫∫Σ=−−Φ=Ψppqinfdehnfiiiτ121*...h [W.3.2]
Postulat 3
WartoÂśĂŚ spodziewana wielkoÂści mechanicznej F wyraÂża siĂŞ wzorem ∫ΨΨ=qdFFτˆ* [W.3.3]
gdzie oznacza operator tej wielkoÂści mechanicznej, skonstruowany wedÂług reguÂł Jordana, mianowicie Fˆ
a) w klasycznym wzorze okreÂślajÂącym wielkoÂśĂŚ jako funkcjĂŞ wspĂłÂłrzĂŞdnych i pĂŞdĂłw zastĂŞpujemy wszĂŞdzie wspĂłÂłrzĂŞdnÂą q przez operator mnoÂżenia przez tĂŞ wspĂłÂłrzĂŞdnÂą: ),(pqFqˆ
qˆ → q• [W.3.4]
b) w klasycznym wzorze okreÂślajÂącym wielkoÂśĂŚ ) jako funkcjĂŞ wspĂłÂłrzĂŞdnych i pĂŞdĂłw zastĂŞpujemy wszĂŞdzie pĂŞd p przez operator ,(pqFq∂i∂−h, gdzie q oznacza odpowiedniÂą wspĂłÂłrzĂŞdnÂą.
p → qi∂∂−h [W.3.5]
Postulat 4
ÂżÂąda, aby funkcja falowa ukÂładu speÂłniaÂła nastĂŞpujÂące rĂłwnanie SchrĂśdingera zawierajÂące czas Ψ∂∂=ΨtihHˆ [W.3.6]
gdzie Hˆ jest operatorem energii ukÂładu (operatorem Hamiltona, hamiltonianem), skonstruowanym wedÂług podanych wyÂżej reguÂł Jordana.
2
Konsekwencje i komentarze:
1. Funkcja falowa w peÂłni charakteryzuje stan kwantowo-mechaniczny ukÂładu, tj. zawiera maksimum informacji o ukÂładzie, dostĂŞpnej na gruncie opisu kwantowo-mechanicznego.
2. PrawdopodobieĂąstwo znalezienia ukÂładu w pewnej objĂŞtoÂści przestrzeni konfiguracyjnej lub pĂŞdowej dane jest caÂłkÂą po tej objĂŞtoÂści ∫∫∫=Ψ=ΨΨ=VqqNqVqqVqqNNVqdtqqqwddtqqqtqqqWτττ),,.....,(),,.....,(),,.....,(*2122121 [W.3.7a] ∫∫∫=Φ=ΦΦ=VppNppVpVppNNVpdtpppwddtppptpppWτττ),,.....,(),,.....,(),,.....,(*2122121 [W.3.7b]
W przypadku, gdy jest to caÂłkowita objĂŞtoÂśĂŚ dostĂŞpna ukÂładowi (np. w skrajnym przypadku caÂła przestrzeĂą), powyÂższe caÂłki musza byĂŚ rĂłwna jednoÂści (ukÂład na pewno znajduje siĂŞ gdzieÂś i ma jakiÂś pĂŞd), co nazywamy warunkiem normalizacji.
12=Ψ∫qqdττ [W.3.8a] 12=Φ∫ppdττ [W.3.8b]
W dalszym ciÂągu skoncentrujemy siĂŞ na funkcjach falowych Ψ w reprezentacji wspĂłÂłrzĂŞdnoÂściowej. SÂą one z reguÂły uzyskiwane przez rozwiÂązanie rĂłwnaĂą rĂłÂżniczkowych, co powoduje pojawienie siĂŞ odpowiednich staÂłych caÂłkowania. Jedna z nich (nazwijmy jÂą N) wyznaczana jest z warunku normalizacji. PrzypuÂśĂŚmy, Âże rozwiÂązanie odpowiedniego rĂłwnania prowadzi do funkcji Ψ’; wĂłwczas unormowana funkcja falowa ma postaĂŚ
'Ψ=ΨN [W.3.9] 2/12'1Ψ=∫qqdNττ [W.3.10]
gwarantuje speÂłnienie wymagania normalizacji.
Uwaga: Warunek normalizacji dla tzw. stanĂłw niezwiÂązanych ma nieco innÂą postaĂŚ i nie bĂŞdzie tu omawiany.
3. Z oczywistych przyczyn fizycznych, funkcje falowe muszÂą byĂŚ tzw. funkcjami porzÂądnymi, inaczej funkcjami klasy Q. Z definicji oznacza to, Âże muszÂą byĂŚ skoĂączone, ciÂągÂłe i jednoznaczne.
4. Istnieje odpowiednik wyraÂżenia [W.3.3] dla funkcji falowych zadanych w przestrzeni pĂŞdĂłw, ale nie bĂŞdzie on tu uÂżywany. Podobnie, rĂłwnanie SchrĂśdingera analogiczne do [W.3.6] moÂżna rĂłwnieÂż zapisaĂŚ dla funkcji falowej Φ (w reprezentacji pĂŞdowej).
5. Operatory odpowiadajÂące mierzalnym wielkoÂściom mechanicznym (obserwablom) muszÂą byĂŚ liniowe i hermitowskie.
Operator nazywamy liniowym, jeÂśli dla kaÂżdej pary funkcji u1 i u2
2121ˆˆ)(ˆuFbuFabuauF+=+ [W.3.11]
Operator nazywamy hermitowskim, jeÂśli speÂłnia on warunek
∫∫=ττduFuduFu*)ˆ(ˆ*1221 [W.3.12] 3
materiaÂł pochodzi z:
http://www.chemia.uj.edu.pl/dydaktyka/downloads/kwantycz1.pdf
http://www.kwanty.friko.pl/postulaty.php#100
http://pl.wikipedia.org/wiki/Mechanika_kwantowa
http://library.thinkquest.org/28383/nowe_teksty/html/2_17.html

SÂą fizycy utrzymujÂący, Âże rozumiejÂą to [odmianĂŞ fizyki kwantowej] tak samo jak rozumiejÂą czym sÂą kamienie i szafy. W rzeczywistoÂści rozumiejÂą zgodnoÂśĂŚ teorii z wynikami pomiarĂłw. Fizyka, mĂłj drogi, jest wÂąskim szlakiem wytyczonym przez czeluÂście, nieposiĂŞÂżne dla ludzkiej wyobraÂźni. Jest to zbiĂłr odpowiedzi na pytania, ktĂłre zadajemy Âświatu, a Âświat udziela odpowiedzi pod warunkiem, Âże nie bĂŞdziemy mu stawiali innych pytaĂą, niÂż tych ktĂłre wykrzykuje zdrowy rozsÂądek.
CzymÂże jest zdrowy rozsÂądek? Jest tym, co ogarnia intelekt stojÂący na zmysÂłach taklich samych, jak zmysÂły maÂłp. Ăw intelekt chce poznawaĂŚ Âświat zgodnie z reguÂłami uksztaÂłtowanymi przez jego ziemskÂą niszĂŞ ÂżyciowÂą. Ale Âświat poza tÂą niszÂą, tÂą wylĂŞgarniÂą inteligentnych maÂłpoludĂłw, ma wÂłasnoÂści, ktĂłrych nie moÂżna wziÂąÂśĂŚ do rĂŞki, zobaczyĂŚ, ugryÂźĂŚ, usÂłyszeĂŚ, opukaĂŚ i w ten sposĂłb zawÂłaszczyĂŚ. (StanisÂław Lem, Fiasko) wiĂŞcej...

Nikt nie rozumie teorii kwantowej.
-- Richard Feynman