To, co cz³owiek widzi, zale¿y zarówno od tego, na co patrzy, jak i od tego, co nauczy³ siê dostrzegaæ w swym dotychczasowym do¶wiadczeniu wizualnym i pojêciowym.-- T. S. Kuhn, "Struktura rewolucji naukowych", r.3
Od wczesnego dzieciñstwa przyzwyczajamy siê do otaczaj±cego nas ¶wiata - takiego, jaki spostrzegamy naszymi zmys³ami. W tym okresie wytwarzamy w sobie podstawowe pojêcia przestrzeni, czasu i ruchu. Umys³ nasz przywyka do tych pojêæ, tak, i¿ zbudowana na nich koncepcja ¶wiata wydaje siê nam jedyn± mo¿liw±, za¶ to, co do tej koncepcji nie przystaje, umieszczamy w kategoriach paradoksów.
Tymczasem wiek XX przyniós³ mnóstwo prze³omowych zmian w dziedzinie postrzegania ¶wiata. Dziêki pracom takich fizyków jak na przyk³ad Planck, Einstein czy Bohr, oraz dziêki licznym do¶wiadczeniom, klasyczny porz±dek ¶wiata zatrz±s³ siê w posadach. Okaza³o siê bowiem, ¿e to, co spostrzegamy naszymi zmys³ami jest jedynie w±skim wycinkiem dostêpnej (a w³a¶ciwie niedostêpnej) rzeczywisto¶ci.
Zasady mechaniki kwantowej s± obecnie paradygmatem fizyki i chemii. Wraz ze Szczególn± teori± wzglêdno¶ci mechanika kwantowa jest podstaw± opisu wszelkich zjawisk fizycznych.
Nierelatywistyczna mechanika kwantowa pozostaje s³uszna, dopóki stosuje siê j± w odniesieniu do cia³ poruszaj±cych siê z prêdko¶ciami du¿o mniejszymi od prêdko¶ci ¶wiat³a. Jej uogólnieniem próbowa³a byæ relatywistyczna mechanika kwantowa, ale ostatecznie okaza³o siê, ¿e takie uogólnienie musi mieæ postaæ kwantowej teorii pola.
Mechanika kwantowa zosta³a stworzona niezale¿nie przez Wernera Heisenberga i Erwina Schrödingera w 1925 r. Zosta³a szybko rozwiniêta dziêki pracom Maxa Borna i Paula Diraca. Jeszcze przed powstaniem ostatecznej wersji mechaniki kwantowej prekursorskie prace teoretyczne stworzyli Albert Einstein i Niels Bohr. Jej wersjê obejmuj±ca teoriê pól kwantowych doprowadzili do ostatecznej formy Richard Feynman i inni.
Odkrycia Plancka czy Bohra, oraz niezwykle ¶mia³e teorie Einsteina czy de Broglie'a stworzy³y now± fizyczn± rzeczywisto¶æ. Oto bowiem klasyczne pojêcia przestrzeni, ruchu i czasu uleg³y nadzwyczajnej rewizji, przyroda zaczê³a okazywaæ swoje prawdziwe, d³ugo skrywane oblicze, które wprawia³o w zdumienie nawet samych uczonych. Heisenberg na krótko przed podaniem swojej zasady nieoznaczono¶ci mia³ postawiæ pytanie: "czy¿by przyroda mog³a byæ tak absurdalna, jak ukazywa³a siê nam w eksperymentach atomowych?".
Ta niezwyk³o¶æ praw rz±dz±cych przyrod± zawsze by³a, jest i bêdzie przyczyn± powstawania wielu w±tpliwo¶ci, paradoksów i pozornych nie¶cis³o¶ci. Jednak mo¿liwo¶ci ludzkiego umys³u siêgaj± na tyle daleko, ¿e z pozornie bez³adnej uk³adanki do¶wiadczeñ i wniosków, z pozornie niezgodnych teorii i paradoksalnych propozycji, ludzie potrafi± stworzyæ ¶cis³y i zwiêz³y opis zjawisk przyrodniczych. Upór, determinacja i konsekwencja s± bowiem wpisane w ludzk± naturê równie silnie, jak wszystkie odwieczne (te odkryte i te jeszcze nieodkryte) prawa przyrody s± wpisane w naturê wszech¶wiata...
Rok 1927 mo¿na uznaæ za rok prze³omowy. Heisenberg poda³ wówczas swoj± zasadê nieoznaczono¶ci, Davisson i Germer do¶wiadczalnie potwierdzili falow± naturê cz±stek (elektronów), a Born dokona³ interpretacji funkcji falowej Schrodingera, dok³adaj±c tym samym ostatni element do uk³adanki zwanej "teori± kwantów". Zasady i prawa, jakie rz±dz± now± - kwantow± mechanik±, mo¿na uj±æ w sposób spójny w postaci kilku postulatów.
Postulat pierwszy
Dowolnej, dobrze okre¶lonej obserwabli w fizyce (A), odpowiada operator (A*) taki, ¿e w wyniku pomiaru tej obserwabli (A) otrzymujemy warto¶ci pomiarowe (a), które s± zarazem warto¶ciami w³asnymi operatora (A*).
Có¿ to oznacza? Na pocz±tek wyja¶nijmy nieco pojêæ. Obserwabla (brzmi niezwykle powa¿nie) to nic innego jak wielko¶æ fizyczna, któr± mo¿emy zaobserwowaæ (zmierzyæ). Pojêcie operatora ma tutaj znaczenie matematyczne, wiêc na gruncie fizycznym mo¿na przyj±æ, ¿e jest to pewna abstrakcyjna "wielko¶æ", która dzia³a na przyporz±dkowan± sobie obserwablê, czyni±c j± inn± ni¿ pierwotnie.
W tym ujêciu pierwszy postulat mechaniki kwantowej mówi nam, ¿e w rzeczywisto¶ci niemo¿liwe jest dokonanie dok³adnego pomiaru jakiejkolwiek wielko¶ci fizycznej. Pomiar ka¿dej bowiem wielko¶ci obarczony bêdzie b³êdem wprowadzonym przez nasz abstrakcyjny "operator". Fizycznie odpowiada za to dobrze znany kwant ¶wiat³a (foton), który jak wiemy odbijaj±c siê od dowolnego przedmiotu, zmienia jego po³o¿enie w przestrzeni i to w sposób zupe³nie nieprzewidywalny (przypadkowy). Tym samym "to co zobaczymy" (to co zmierzymy), nie bêdzie ju¿ rzeczywistym obrazem dowolnego przedmiotu, a raczej jego "mira¿em" - z³udzeniem... O tym w³a¶nie nam mówi postulat pierwszy.
Postulat drugi
Pomiar obserwabli (A) daj±cy w wyniku warto¶æ (a) pozostawia uk³ad w stanie (f), gdzie (f) jest funkcj± w³asna operatora (A*)
Tym razem sprawa wydaje siê prosta. Ka¿dy pomiar dowolnej wielko¶ci fizycznej wywiera trwa³y wp³yw na ca³y mierzony uk³ad fizyczny. Je¶li na przyk³ad zechcemy zmierzyæ warto¶æ pêdu (który jest obserwabl±) dla przelatuj±cego samolotu, musimy byæ ¶wiadomi, ¿e nie tylko tym samym wp³yniemy na wynik pomiaru (wypaczaj±c go oczywi¶cie) lecz równie¿ zak³ócimy dalszy ruch samolotu, który ju¿ nie poleci po pierwotnym torze. Ile bêdzie wynosiæ odchylenie samolotu spowodowane nasz± obserwacj±? Uwaga!! W sporym uproszczeniu mo¿emy przyj±æ, ¿e trajektoria samolotu zmieni siê o ok... 0,000000000000000000000000000000000005 m.
Zatem mo¿emy ¶mia³o dokonywaæ pomiarów na samolotach, bez obawy, ¿e spowodujemy jak±¶ katastrofê lotnicz±. Zawdziêczamy to obowi±zuj±cej w naszym wszech¶wiecie bardzo ma³ej warto¶ci sta³ej Plancka (zwanej równie¿ sta³± kwantow±). Gdyby jednak masa samolotu by³a porównywalna z mas± elektronu, lub gdyby sta³a Plancka by³a kilka rzêdów wielko¶ci wiêksza, to za swoje eksperymenty trafiliby¶my pewnie do wiêzienia...
Postulat trzeci
Stan uk³adu w dowolnej chwili mo¿e reprezentowaæ funkcja stanu (inaczej funkcja falowa), w której zawarte s± wszystkie informacje dotycz±ce stanu uk³adu.
Jak zapewne pamiêtamy, pojêcie funkcji falowej zosta³o wprowadzone przez Schredingera i rzuca³o pomost pomiêdzy w³a¶ciwo¶ci "materialne" cz±stek i ich falowe odpowiedniki. Zapewne pamiêtamy te¿, jak± interpretacjê tej funkcji zaproponowa³ Born, który do mechaniki kwantowej wprowadzi³ pojêcie gêsto¶ci prawdopodobieñstwa. Postulat trzeci mechaniki kwantowej w zasadzie odnosi siê do odkryæ tych dwóch uczonych.
Rozpatrzmy nastêpuj±cy przyk³ad: za³ó¿my, ¿e w pewnym eksperymencie mierzymy dowoln± obserwablê (A). Za³ó¿my równie¿, ¿e przygotowali¶my du¿± liczbê takich eksperymentów (tak, aby eksperyment wykonaæ n razy), i tak, aby w ka¿dym eksperymencie uzyskaæ idealnie takie same warunki pocz±tkowe pomiaru. W ustalonej chwili t mierzymy obserwablê (A) we wszystkich eksperymentach jednocze¶nie. Otrzymamy oczywi¶cie zbiór n podobnych, ale nie identycznych wyników. Postulat trzeci mówi nam, ¿e ¶rednia warto¶æ dowolnej obserwabli (wielko¶ci) fizycznej zwi±zanej z uk³adem w chwili t powinna byæ równa ¶redniej arytmetycznej wszystkich takich hipotetycznych pomiarów. ¦rednia taka nosi nazwê warto¶ci oczekiwanej obserwabli. Jest to do¶æ pokrêtne t³umaczenie, ale bez wprowadzania pojêæ matematycznych prawdopodobnie nie da siê tego pro¶ciej przedstawiæ.
Mo¿emy tutaj (za Bornem) mówiæ równie¿ o prawdopodobieñstwie znalezienia w pomiarze wielko¶ci (A) konkretnej oczekiwanej warto¶ci. Za³ó¿my, ¿e znamy funkcjê stanu danej cz±stki (uk³adu) w okre¶lonej chwili i ¿e potrafimy wyznaczyæ warto¶æ oczekiwan± dowolnej obserwabli tej cz±stki (uk³adu). Mo¿emy sobie teraz postawiæ pytanie: jak± mamy pewno¶æ, ¿e w pomiarze naszej obserwabli otrzymamy warto¶æ równ± warto¶ci oczekiwanej? P³yn±ca z postulatu trzeciego idea nakazywa³aby dokonanie mo¿liwie du¿ej liczby identycznych pomiarów, aby zredukowaæ niepewno¶æ otrzymanego wyniku.
Postulat czwarty
Funkcja stanu (funkcja falowa) uk³adu (np. pojedynczej cz±stki) zale¿y od czasu.
Postulat ten jest w zasadzie rozszerzeniem postulatu trzeciego. Wiemy z niego ¿e dowolny uk³ad fizyczny mo¿emy opisaæ w dowolnej chwili za pomoc± funkcji stanu (funkcji falowej). Jednak je¶li dobrze pamiêtamy, Schredinger "dopieszczaj±c" swoje równanie wprowadzi³ doñ jeszcze jedn± zmienn± - energiê potencjaln± - i uzale¿ni³ j± od czasu. To ostateczne równanie opisuje wprawdzie ruch (stan) dowolnej cz±stki (uk³adu) poruszaj±cej siê z prêdko¶ci± mniejsz± od prêdko¶ci ¶wiat³a, ale narzuca te¿ nam, jako obserwatorom pewn± trudno¶æ. Wynika zeñ bowiem, ¿e stan ka¿dego uk³adu zmienia siê z ka¿d± mijaj±c± chwil± (wypada³oby tu powiedzieæ "kwantem czasu").
Tak wiêc seria jakichkolwiek pomiarów (tak jak np. w powy¿szych przyk³adach) musi siê zmie¶ciæ w owym "kwancie czasu", w przeciwnym wypadku ulegnie zmianie stan uk³adu. W teorii brzmi to byæ mo¿e obco, ale "ograniczenia pomiarowe" wynikaj±ce szczególnie z ostatnich dwóch postulatów z pewno¶ci± nastrêczaj± wysi³ku naukowcom planuj±cym eksperymenty atomowe.
I w bardziej Akademicka interpretacja
Zwyczajowo, podstawy mechaniki kwantowej formu³owane s± w postaci kilku postulatów, których numeracja i konkretna postaæ s± ró¿ne w ró¿nych ujêciach. W niniejszym zbiorze za punkt wyj¶cia przyjmujemy nastêpuj±ce sformu³owanie:
Postulat 1
Stan uk³adu kwantowo-mechanicznego opisany jest przez funkcjê ),,.....,(21tqqqfnΨ wspó³rzêdnych n cz±stek zawartych w uk³adzie (przy czym ka¿da cz±stka ma f stopni swobody) oraz czasu, lub funkcjê pêdów wszystkich cz±stek zawartych w uk³adzie oraz czasu. Funkcja ta nosi nazwê funkcji falowej w reprezentacji, odpowiednio, wspó³rzêdnych lub pêdów, i jest zdefiniowana przez tê w³a¶ciwo¶æ, ¿e kwadrat jej modu³u zadaje gêsto¶æ prawdopodobieñstwa (w),,.....,(21tpppfnΦq lub wp) znalezienia uk³adu w danym punkcie przestrzeni konfiguracyjnej lub pêdowej:
),,.....,(),,.....,(),,.....,(*2122121tqqqwtqqqtqqqnqnn=Ψ=ΨΨ [W.3.1a]
),,.....,(),,.....,(),,.....,(*2122121tpppwtppptpppnpnn=Φ=ΦΦ [W.3.1b]
Postulat 2
zadaje relacjê pomiêdzy funkcjami falowymi w reprezentacji wspó³rzêdno¶ciowej i w reprezentacji pêdowej, mianowicie ∫∫Σ=−−Φ=Ψppqinfdehnfiiiτ121*...h [W.3.2]
Postulat 3
Warto¶æ spodziewana wielko¶ci mechanicznej F wyra¿a siê wzorem ∫ΨΨ=qdFFτˆ* [W.3.3]
gdzie oznacza operator tej wielko¶ci mechanicznej, skonstruowany wed³ug regu³ Jordana, mianowicie Fˆ
a) w klasycznym wzorze okre¶laj±cym wielko¶æ jako funkcjê wspó³rzêdnych i pêdów zastêpujemy wszêdzie wspó³rzêdn± q przez operator mno¿enia przez tê wspó³rzêdn±: ),(pqFqˆ
qˆ → q• [W.3.4]
b) w klasycznym wzorze okre¶laj±cym wielko¶æ ) jako funkcjê wspó³rzêdnych i pêdów zastêpujemy wszêdzie pêd p przez operator ,(pqFq∂i∂−h, gdzie q oznacza odpowiedni± wspó³rzêdn±.
p → qi∂∂−h [W.3.5]
Postulat 4
¿±da, aby funkcja falowa uk³adu spe³nia³a nastêpuj±ce równanie Schrödingera zawieraj±ce czas Ψ∂∂=ΨtihHˆ [W.3.6]
gdzie Hˆ jest operatorem energii uk³adu (operatorem Hamiltona, hamiltonianem), skonstruowanym wed³ug podanych wy¿ej regu³ Jordana.
2
Konsekwencje i komentarze:
1. Funkcja falowa w pe³ni charakteryzuje stan kwantowo-mechaniczny uk³adu, tj. zawiera maksimum informacji o uk³adzie, dostêpnej na gruncie opisu kwantowo-mechanicznego.
2. Prawdopodobieñstwo znalezienia uk³adu w pewnej objêto¶ci przestrzeni konfiguracyjnej lub pêdowej dane jest ca³k± po tej objêto¶ci ∫∫∫=Ψ=ΨΨ=VqqNqVqqVqqNNVqdtqqqwddtqqqtqqqWτττ),,.....,(),,.....,(),,.....,(*2122121 [W.3.7a] ∫∫∫=Φ=ΦΦ=VppNppVpVppNNVpdtpppwddtppptpppWτττ),,.....,(),,.....,(),,.....,(*2122121 [W.3.7b]
W przypadku, gdy jest to ca³kowita objêto¶æ dostêpna uk³adowi (np. w skrajnym przypadku ca³a przestrzeñ), powy¿sze ca³ki musza byæ równa jedno¶ci (uk³ad na pewno znajduje siê gdzie¶ i ma jaki¶ pêd), co nazywamy warunkiem normalizacji.
12=Ψ∫qqdττ [W.3.8a] 12=Φ∫ppdττ [W.3.8b]
W dalszym ci±gu skoncentrujemy siê na funkcjach falowych Ψ w reprezentacji wspó³rzêdno¶ciowej. S± one z regu³y uzyskiwane przez rozwi±zanie równañ ró¿niczkowych, co powoduje pojawienie siê odpowiednich sta³ych ca³kowania. Jedna z nich (nazwijmy j± N) wyznaczana jest z warunku normalizacji. Przypu¶æmy, ¿e rozwi±zanie odpowiedniego równania prowadzi do funkcji Ψ’; wówczas unormowana funkcja falowa ma postaæ
'Ψ=ΨN [W.3.9] 2/12'1Ψ=∫qqdNττ [W.3.10]
gwarantuje spe³nienie wymagania normalizacji.
Uwaga: Warunek normalizacji dla tzw. stanów niezwi±zanych ma nieco inn± postaæ i nie bêdzie tu omawiany.
3. Z oczywistych przyczyn fizycznych, funkcje falowe musz± byæ tzw. funkcjami porz±dnymi, inaczej funkcjami klasy Q. Z definicji oznacza to, ¿e musz± byæ skoñczone, ci±g³e i jednoznaczne.
4. Istnieje odpowiednik wyra¿enia [W.3.3] dla funkcji falowych zadanych w przestrzeni pêdów, ale nie bêdzie on tu u¿ywany. Podobnie, równanie Schrödingera analogiczne do [W.3.6] mo¿na równie¿ zapisaæ dla funkcji falowej Φ (w reprezentacji pêdowej).
5. Operatory odpowiadaj±ce mierzalnym wielko¶ciom mechanicznym (obserwablom) musz± byæ liniowe i hermitowskie.
Operator nazywamy liniowym, je¶li dla ka¿dej pary funkcji u1 i u2
2121ˆˆ)(ˆuFbuFabuauF+=+ [W.3.11]
Operator nazywamy hermitowskim, je¶li spe³nia on warunek
∫∫=ττduFuduFu*)ˆ(ˆ*1221 [W.3.12] 3
materia³ pochodzi z:
http://www.chemia.uj.edu.pl/dydaktyka/downloads/kwantycz1.pdfhttp://www.kwanty.friko.pl/postulaty.php#100http://pl.wikipedia.org/wiki/Mechanika_kwantowahttp://library.thinkquest.org/28383/nowe_teksty/html/2_17.htmlS± fizycy utrzymuj±cy, ¿e rozumiej± to [odmianê fizyki kwantowej] tak samo jak rozumiej± czym s± kamienie i szafy. W rzeczywisto¶ci rozumiej± zgodno¶æ teorii z wynikami pomiarów. Fizyka, mój drogi, jest w±skim szlakiem wytyczonym przez czelu¶cie, nieposiê¿ne dla ludzkiej wyobra¼ni. Jest to zbiór odpowiedzi na pytania, które zadajemy ¶wiatu, a ¶wiat udziela odpowiedzi pod warunkiem, ¿e nie bêdziemy mu stawiali innych pytañ, ni¿ tych które wykrzykuje zdrowy rozs±dek.
Czym¿e jest zdrowy rozs±dek? Jest tym, co ogarnia intelekt stoj±cy na zmys³ach taklich samych, jak zmys³y ma³p. Ów intelekt chce poznawaæ ¶wiat zgodnie z regu³ami ukszta³towanymi przez jego ziemsk± niszê ¿yciow±. Ale ¶wiat poza t± nisz±, t± wylêgarni± inteligentnych ma³poludów, ma w³asno¶ci, których nie mo¿na wzi±¶æ do rêki, zobaczyæ, ugry¼æ, us³yszeæ, opukaæ i w ten sposób zaw³aszczyæ. (Stanis³aw Lem, Fiasko) wiêcej...
Nikt nie rozumie teorii kwantowej.
-- Richard Feynman