Ukryty wymiar - Fraktale

Fraktalna rzeczywistoÂśĂŚ

Poznanie geometryczne dotyczy tego, co wieczne - stwierdziÂł Platon ponad dwa tysiÂące lat temu. ÂŚwiadomoÂśĂŚ tego towarzyszyÂła czÂłowiekowi od zarania dziejĂłw. Najpierw przez wieki prĂłbowano okreÂśliĂŚ geometryczny ksztaÂłt Ziemi, potem ksztaÂłt orbit ciaÂł niebieskich, by w czasach nowoÂżytnych - dziĂŞki geniuszowi Einsteina - opisaĂŚ ksztaÂłt czasoprzestrzeni.
Wszystkie te wielkie akty poznania mogÂły nastÂąpiĂŚ w wyniku rozwoju geometrii, ktĂłra wyznaczaÂła drogi opisu Âświata rzeczywistego, zÂłoÂżonego z nieogarniĂŞtej liczby obiektĂłw o przerĂłÂżnych ksztaÂłtach i formach przestrzennych. Jednak ani klasyczna geometria Euklidesa, ani geometria eliptyczna i hiperboliczna nie wystarczaÂły do opisu caÂłej zÂłoÂżonoÂści Natury. Przede wszystkim dlatego, iÂż geometrie te badaÂły wÂłasnoÂści figur wyidealizowanych, doskonaÂłych w swym ksztaÂłcie okrĂŞgĂłw, elips, trĂłjkÂątĂłw, kul itp., w kontekÂście odwzorowaĂą izometrycznych. Dopiero nowa geometria rozwijajÂąca siĂŞ od koĂąca ubiegÂłego stulecia - topologia - stworzyÂła podstawy do rozwaÂżaĂą nad holistycznymi wÂłasnoÂściami obiektĂłw, nad homomorfizmami (tj. bijekcjami w obie strony ciÂągÂłymi). Przedmiotem jej badaĂą jest miĂŞdzy innymi ksztaÂłt i poÂłoÂżenie, rozpatrywane w sensie wÂłasnoÂści figur, ktĂłre zachowujÂą siĂŞ nawet wĂłwczas, gdy zdeformowane figury tracÂą wszelkie wÂłasnoÂści metryczne i rzutowe. StÂąd topologia rozumiana jest rĂłwnieÂż jako geometria jakoÂściowa, z ktĂłrej wywodzi siĂŞ wszelkie inne poznanie geometryczne.
W ostatnich latach zanotowano niezwykÂłe osiÂągniĂŞcia w dziedzinie topologii zwiÂązane z tzw. geometriÂą fraktalnÂą. Fraktale - niedawno odkryte figury geometryczne - otwierajÂą nowe, nieosiÂągalne dotÂąd moÂżliwoÂści w zakresie badania struktury Âświata rzeczywistego, a takÂże jego dynamiki. W dziedzinie modelowania zÂłoÂżonoÂści Natury pojawiÂł siĂŞ wiĂŞc nowy jĂŞzyk geometrii eksperymentalnej. To nowe podejÂście zostaÂło zapoczÂątkowane pod koniec lat siedemdziesiÂątych pracami matematyka Benoit'a Mandelbrota, a nastĂŞpnie zostaÂło podjĂŞte przez wielu badaczy.
"Chmury nie sÂą kulami, gĂłry stoÂżkami, linie brzegowe koÂłami, kora nie jest pÂłaska, ani teÂż bÂłyskawica nie porusza siĂŞ po linii prostej" - napisaÂł w The Fractal Geometry of Nature Mandelbrot (1982: 1). WnikajÂąc gÂłĂŞbiej w ten problem, dla uchwycenia nieregularnoÂści obiektĂłw spotykanych w rzeczywistoÂści, Mandelbrot odkryÂł nowe formy geometryczne, ktĂłre od ÂłaciĂąskiego sÂłowa fractus ("zÂłamany") nazwaÂł fraktalami. WstĂŞpnie moÂżna stwierdziĂŚ, iÂż fraktale sÂą obiektami geometrycznymi o Âłamanym lub nieregularnym ksztaÂłcie, ktĂłre wykazujÂą samopodobnÂą strukturĂŞ podczas zmierzajÂącego do nieskoĂączonoÂści procesu redukcji ich rozmiarĂłw.
Fraktale cechujÂą nastĂŞpujÂące wÂłasnoÂści geometryczne i algebraiczne:
(1) nie posiadajÂą unikalnej, charakterystycznej dla nich skali dÂługoÂści, gdyÂż powiĂŞkszone lub pomniejszone nie zmieniajÂą swych ksztaÂłtĂłw,
(2) sÂą samopodobne na kaÂżdym poziomie obserwacji (pomiaru) w tym sensie, Âże po wyciĂŞciu z nich dowolnej maÂłej czĂŞÂści i jej powiĂŞkszeniu powstanie obiekt wiernie naÂśladujÂący caÂłoÂśĂŚ,
(3) przedstawione w sposĂłb analityczny, opisywane sÂą zaleÂżnoÂściami rekurencyjnymi, a nie wzorami matematycznymi.
Tradycyjne figury geometryczne takie jak koÂła, trĂłjkÂąty czy kwadraty, nie speÂłniajÂą tych wÂłasnoÂści. WyciĂŞty fragment kwadratu nie przypomina caÂłego kwadratu. JednoczeÂśnie jednak niektĂłre z tych figur, np. koÂło, poddajÂą siĂŞ procedurze renormalizacji opartej na pojĂŞciu samopodobieĂąstwa, czyli tendencji do wielopoziomowego powtarzania identycznych struktur geometrycznych. W czystej matematyce takie obiekty zostaÂły zdefiniowane znacznie wczeÂśniej (oczywiÂście nie nazywano ich fraktalami), byÂły one traktowane jako swego rodzaju przypadki szczegĂłlne, "monstra", ktĂłre w pewnym sensie potwierdzaÂły ograniczonÂą zdolnoÂśĂŚ poznania klasycznej geometrii. W dzisiejszej terminologii nazywane sÂą one fraktalami deterministycznymi. Natomiast fraktale spotykane w rzeczywistoÂści (nie sztuczne) okreÂśla siĂŞ
jako losowe.
Mandelbrot (1982) stwierdziÂł, Âże wÂłasnoÂściami analogicznymi do fraktali deterministycznych cechujÂą siĂŞ obiekty spotykane w rzeczywistoÂści. Znanym przykÂładem potwierdzajÂącym jego tezĂŞ jest tzw. eksperyment W.F. Richardsona (1881-1953), ktĂłry analizowaÂł dÂługoÂśĂŚ wybrzeÂży Wielkiej Brytanii, Portugalii, Niemiec oraz PoÂłudniowej Afryki. Richardson zauwaÂżyÂł, Âże wyniki pomiaru dÂługoÂści linii wybrzeÂża zaleÂżÂą w duÂżym stopniu od skali mapy oraz odcinka pomiarowego. Im jednostka miary krĂłtsza, tym linia wybrzeÂża dÂłuÂższa.
Eksperyment Richardsona potwierdziÂł rzecz maÂło oczekiwanÂą: dÂługoÂśĂŚ linii wybrzeÂża, podobnie jak krzywa von Kocha, zmierza do nieskoĂączonoÂści, jeÂśli dÂługoÂśĂŚ odcinka miary zmierza w kierunku wartoÂści infinitezymalnych (tj. nieskoĂączenie maÂłych), a prawdziwÂą dÂługoÂściÂą wybrzeÂża jest nieskoĂączonoÂśĂŚ, niezaleÂżnie od rozmiarĂłw samego wybrzeÂża.
Czy jednak linia wybrzeÂża ma strukturĂŞ samopodobnÂą, tzn. czy powiĂŞkszenie fragmentu linii wybrzeÂża daje podobne efekty, jak powiĂŞkszenie fragmentu linii von Kocha? Okazuje siĂŞ, Âże w przybliÂżeniu zarĂłwno fraktal matematyczny jak i fraktal naturalny majÂą we wszystkich skalach3 takÂą samÂą strukturĂŞ.
PoniewaÂż fraktale obrazujÂą zÂłoÂżonoÂśĂŚ tak struktur matematycznych jak i Âświata rzeczywistego, powstaje pytanie, jak mierzyĂŚ stopieĂą skomplikowania ich ksztaÂłtu? Wiadomo, Âże dÂługoÂśĂŚ linii brzegowych fraktali dÂąÂży do nieskoĂączonoÂści, przeto dÂługoÂśĂŚ linii brzegowych nie jest dobrÂą miarÂą zÂłoÂżonoÂści ksztaÂłtu tych obiektĂłw. LepszÂą miarĂŞ zaproponowaÂł Mandelbrot w postaci pojĂŞcia "wymiaru fraktalnego", ktĂłry okreÂśla stopieĂą meandrowania krzywej i jest w pewnym sensie miarÂą wypeÂłnienia przestrzeni, w ktĂłrej ta krzywa jest zanurzona. W matematyce o takiej krzywej mĂłwi siĂŞ, Âże "czuje" przestrzeĂą (por. Schroeder 1991: 10). PojĂŞcie wymiaru fraktalnego prowadzi do zaskakujÂących spostrzeÂżeĂą i narusza powszechnie utrwalone w ÂświadomoÂści ludzkiej wyobraÂżenia o wymiarowaniu obiektĂłw liniowych, powierzchniowych i objĂŞtoÂściowych.
Mimo iÂż wydaje siĂŞ zupeÂłnie oczywiste, Âże punkt ma wymiar 0, linia wymiar 1, pÂłaszczyzna wymiar 2, a przestrzeĂą jest trĂłjwymiarowa, to jednak pojĂŞcie wymiaru w matematyce ma dÂługÂą i niezupeÂłnie jeszcze zakoĂączonÂą historiĂŞ.
Na potrzebĂŞ gÂłĂŞbszej analizy i bardziej precyzyjnego definiowania pojĂŞcia wymiaru pierwszy zwrĂłciÂł uwagĂŞ PoincarĂŠ w 1912 r. StwierdziÂł, Âże "prosta jest jednowymiarowa, poniewaÂż moÂżna rozdzieliĂŚ dowolne dwa punkty na niej przecinajÂąc jÂą w jednym punkcie (ktĂłry ma wymiar 0), natomiast pÂłaszczyzna jest dwuwymiarowa, poniewaÂż dla rozdzielenia dowolnych dwĂłch punktĂłw na pÂłaszczyÂźnie musimy wyciÂąĂŚ caÂłÂą krzywÂą zamkniĂŞtÂą (majÂącÂą wymiar 1). Nasuwa to myÂśl indukcyjnej natury wymiarowoÂści: dana przestrzeĂą jest n-wymiarowa, jeÂżeli moÂżna rozdzieliĂŚ dwa dowolne jej punkty usuwajÂąc podzbiĂłr (n-1)-wymiarowy, i jeÂżeli podzbiĂłr mniejszego wymiaru nie zawsze do tego wystarcza" (Courant, Robbins 1961: 323).
PowyÂższe stwierdzenia wykazujÂą, Âże towarzyszÂące czÂłowiekowi odczucie natury wymiarowoÂści nawiÂązuje wÂłaÂśnie do topologicznego wymiaru obiektĂłw, tak matematycznych jak i naturalnych.
NiektĂłrzy matematycy, a wÂśrĂłd nich F. Hausdorff (1886-1942), L.E.J. Brouwer (1882-1966), A.S. Besicovich (1891-1970) i A.N. KoÂłmogorow (1903-1987), definiowali wymiar w inny sposĂłb. Przy czym ich definicje charakteryzujÂą tylko wÂłasnoÂści geometryczne obiektĂłw, a naturĂŞ wymiarowoÂści niekoniecznie opisujÂą liczbami caÂłkowitymi. Wymiar wyraÂżony liczbÂą
niecaÂłkowitÂą - wydaje siĂŞ to niemoÂżliwe, ale taka wÂłaÂśnie sytuacja zachodzi w przypadku obiektĂłw fraktalnych.
Wreszcie znane sÂą takie obiekty fraktalne, ktĂłrych wymiar nie zostaÂł dotÂąd okreÂślony, jak np. niektĂłre zbiory G. Julii (1893-1978). Natomiast wymiar Hausdorffa brzegu najsÂłynniejszego fraktala - zbioru Mandelbrota, ktĂłrego fantazyjne ksztaÂłty uchodzÂą za jedne z najbardziej skomplikowanych jakie wymyÂślono w matematyce (por. Peitgen, Richter 1986) - zostaÂł okreÂślony dopiero w 1991 r. przez ShishikurĂŞ (1991) i wynosi 2,0. UrzekajÂące piĂŞkno dÂługo ukrywaÂło tajemnicĂŞ swego wymiaru.

<a href="http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>" target="_blank">http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object></a>
Fragmenty zbioru Mandelbrota.
Film przedstawia dobrze znanÂą dekompozycjĂŞ zbioru Mandelbrota. Przy kolejnych powiĂŞkszeniach jego fragmentĂłw pojawiajÂą siĂŞ coraz to nowe kompozycje ksztaÂłtĂłw. UderzajÂące jest rĂłwnieÂż to, iÂż wewnÂątrz ukryte sÂą identyczne struktury - coraz mniejsze zbiory Mandelbrota. Jego odkrywca - Mandelbrot - w pracy Peitgen i in. (1995: 471) wypowiedziaÂł siĂŞ o tym zbiorze nastĂŞpujÂąco: "Pod postaciÂą zbioru Mandelbrota przyroda (a moÂże matematyka?) daje nam wizualny odpowiednik tego, co w muzyce moÂżna by nazwaĂŚ "tematem przewodnim i
jego wariacjami": wszĂŞdzie powtarzajÂą siĂŞ te same ksztaÂłty, ale za kaÂżdym razem powtĂłrzenie jest trochĂŞ inne. [...] zbiĂłr ten stale oferuje nam nowoÂści, nie jest on tak naprawdĂŞ fraktalem w myÂśl wiĂŞkszoÂści definicji: moglibyÂśmy nazwaĂŚ go fraktalem brzegowym, granicznym fraktalem zawierajÂącym wiele fraktali. W porĂłwnaniu z prawdziwymi fraktalami jego struktury sÂą znacznie liczniejsze, jego harmonie bogatsze, a jego nieoczekiwanoÂśĂŚ jest bardziej nieoczekiwana" (Paitgen i in. 1995: 471).
Na ogĂłÂł jednak nie ma problemĂłw z okreÂśleniem wymiarĂłw fraktali matematycznych. Natomiast rozrĂłÂżnienie pomiĂŞdzy ich wymiarem topologicznym oraz wymiarem fraktalnym posÂłuÂżyÂło do sformuÂłowania nastĂŞpujÂącej definicji fraktala: fraktal to figura, ktĂłrej wymiar fraktalny jest rĂłÂżny od topologicznego (por. Ciesielski, Pogoda 1995: 184). PowyÂższa definicja wraz z podanymi wczeÂśniej wÂłasnoÂściami fraktali pozwala na ÂścisÂły opis tych obiektĂłw.

<a href="http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>" target="_blank">http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object></a>

http://www.zep.amu.edu.pl/pl/wp-content/Fraktale.pdf

Aby wyjÂśĂŚ poza standard wszczepiony wyobraÂźni, porzuciĂŚ przyswojonÂą raz na zawsze wizualizacjĂŞ, naleÂży odwoÂłaĂŚ siĂŞ do... nieskoĂączonoÂści. Brzmi groÂźnie, lecz jest proste: wystarczy, w nieskoĂączonoÂśĂŚ, poszukiwaĂŚ ukrytych dla oka analogii oraz, w nieskoĂączonoÂśĂŚ, ÂśledziĂŚ rozwijajÂące siĂŞ wÂątki, czyli nowe, coraz szersze konteksty, korzystajÂąc konsekwentnie z relacji zwrotnej pomiĂŞdzy nimi. I, jeÂśli w ten sposĂłb spojrzeĂŚ na to samo drzewo, okaÂże siĂŞ, Âże na jego temat napisaĂŚ moÂżna powieÂśĂŚ, co wiĂŞcej – w miejsce drzewa podstawiĂŚ da siĂŞ wÂłaÂściwie dowolny obiekt, a sens powieÂści nie ulegnie zmianie.
ÂŚwiat, ktĂłry oglÂądamy na co dzieĂą, Âświat, ktĂłry wydaje siĂŞ znany, moÂże, bardzo Âłatwo, staĂŚ siĂŞ zupeÂłnie nie znanym terenem fascynujÂących odkryĂŚ. Wystarczy tylko odpowiednio zmieniĂŚ (wzbogaciĂŚ? rozszerzyĂŚ?) sposĂłb jego postrzegania.
Nie wiemy, Âże efekty postrzegania sÂą zawsze wzglĂŞdne i zaleÂżÂą w znacznej mierze od ukÂładu odniesienia oraz pozycji obserwatora wobec tego ukÂładu. ÂŻe „pokawaÂłkowane postrzeganie” generuje tylko niespĂłjne mozaiki, zamiast kompletnego filmu. ÂŻe Âświat kreujemy poprzez interpretacjĂŞ. I jeÂśli kreujemy go, interpretujÂąc caÂłoÂśĂŚ poprzez pojedyncze, wyrwane z kontekstu fragmenty, to co warta jest nasza interpretacja? Tak postrzegany Âświat wydaje siĂŞ pozbawiony logiki, rzÂądzony przez przypadek, nieprzewidywalny. Nie moÂże byĂŚ inaczej, bo brak nam klucza do jego rozumienia.

E = mc2. Wiadomo, kto to wymyÂśliÂł i co znaczÂą symbole. WyobraÂźnia podsuwa obraz Einsteina, moÂże nawet ten z plakatĂłw, z wysuniĂŞtym jĂŞzykiem. JakieÂś skojarzenie ze szkoÂłÂą, miÂłe lub nie. I na tym wizja siĂŞ koĂączy. Czy coÂś nam to daje, czy wpÂływa na sposĂłb analizowania zdarzeĂą, zmienia nasze rozumienie Âświata? Czy moÂże mieĂŚ zwiÂązek z czymÂś tak pozornie odlegÂłym, jak cykl rozwojowy roÂślin? Albo z erozjÂą w dolinach rzecznych? A moÂże ma, lecz o tym nie wiemy? A jeÂśli ma, to jak wpÂływa na powstajÂący „w nas” obraz Âświata?
http://ciekawnik.pl/swiat-wokol-nas/315-fraktalny-swiat-czyli-filozofia-natury

Tutaj znajdziecie ciekawe fraktale jaki programy do ich tworzenia.
http://www.eugeniuszm.scholaris.pl/