Ukryty wymiar - Fraktale

[MEM HEI SHIN]

Witam 1

To co poniÂżej przedstawiam to teÂż jest fraktalem. Pozdrawiam

 W jaki sposĂłb definiujesz fraktal ?
Moje pojĂŞcie w tym temacie jest takie, Âże : jeÂżeli mamy przynajmniej dwie formy geometryczne i ze stosunku ich geometrii wynika ''zÂłoty podziaÂł'' to mamy najprostrzy fraktal.
Nie wiem, czy mo¿na powiedzieÌ np. ¿e mamy do czynienia z konstrukcj¹ fraktaln¹, je¿eli nie ma ci¹g³oœci (wzajemnej wspó³zale¿noœci) ?
OdnoÂśnie tej wspó³zaleÂżnoÂści  mam tu na uwadze to, Âże np : jeÂżeli podzielimy dowolny odcinek w/g ''zÂłotego podziaÂłu'' to otrzymamy fraktal.
Ale, ..... jeÂżeli odzielimy ich od siebie i ustawimy w jakimÂś dowolnym  poÂłoÂżeniu, to nie jest juÂż fraktal, pomimo, Âże oba odcinki mogÂą posiadaĂŚ wzajemne dÂługoÂści zgodne ze ''zlotym podziaÂłem''.
W przypadku tej Twojej konstrukcji mamy dwie formy geometryczne poÂłoÂżone obok siebie.
W jaki sposĂłb wyliczyÂłeÂś, Âże ich wzajemna geometria jest fraktalem, czyli jest podzielona zgodnie z  F- 0, 618...   , czyli jest energetycznie synchroniczna ?

Takie pytanie przy okazji. Czy np.jab³ko (jako ca³oœÌ) jest fraktalem ?
Bo czÂłowiek jest. Jest z tego wzglĂŞdu, Âże : posiada tzw. zerowy energetyczny  punkt charmonicznych znajdujÂący siĂŞ nieco powyÂżej pĂŞpka..Czyli... caÂła energetyczna konstrukcja ( czÂłowiek)  jest podzielona w/g zÂłotego podziaÂłu.

[MichaÂł-AnioÂł]

<a href="http://www.youtube.com/v/hkzqkGJjkfM&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/hkzqkGJjkfM&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;480&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;" target="_blank">http://www.youtube.com/v/hkzqkGJjkfM&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/hkzqkGJjkfM&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;480&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;</a>

Odkrycie kosmicznych fraktali

Pierwszym uczonym, ktĂłry juÂż w pierwszych latach XIX wieku zasugerowaÂł, Âże moÂżliwy jest taki rozkÂład gwiazd, ktĂłry wyjaÂśniaÂłby zagadkĂŞ „ciemnoÂści nocnego nieba” byÂł William Herschel. PisaÂł on: „...Âłatwo wyobraziĂŚ sobie strukturĂŞ WszechÂświata dosÂłownie nieskoĂączonÂą, ktĂłra umoÂżliwiaÂłaby dowolnÂą iloœÌ kierunkĂłw, w ktĂłrych nie natrafilibyÂśmy na gwiazdĂŞ. Tak byÂłoby, gdyby skÂładaÂł siĂŞ on z ukÂładĂłw podzielonych zgodnie z prawem, Âże kaÂżda struktura wyÂższego rzĂŞdu jest znacznie bardziej odlegÂła od Âśrodka struktury niÂższego rzĂŞdu...”.
Ponad sto lat póŸniej, staraj¹c siê znaleŸÌ odpowiedŸ na paradoks Olbersa i na Paradoks Grawitacyjny, wyk³adowca fizyki w Birmingham, Edmund Fournier D'Albe zaproponowa³ model kosmosu, w którym gwiazdy rozmieszczone s¹ w sposób hierarchiczny. Przyk³adowy model tego typu przedstawia poni¿szy rysunek:



PiĂŞĂŚ gwiazd (w trĂłjwymiarowej przestrzeni siedem gwiazd), skupionych jest w pewnym obszarze, tworzÂąc gromadĂŞ. PiĂŞĂŚ takich gromad tworzy gromadĂŞ wyÂższego rzĂŞdu – odlegÂłoÂści miĂŞdzy gromadami wyÂższego rzĂŞdu sÂą wiĂŞksze od rozmiarĂłw gromad rzĂŞdu niÂższego. Gromady rzĂŞdu wyÂższego, tworzÂą w analogiczny sposĂłb gromady jeszcze wyÂższego rzĂŞdu i tak dalej, aÂż do nieskoĂączonoÂści.
Idee Fourniera D'Albe rozwin¹³ szwedzki uczony Carl Charlier. To on wÂłaÂśnie wyprowadziÂł zaleÂżnoœÌ, o ktĂłrej pisaÂłem w poprzednim poscie – by rozwiÂązaĂŚ ciemnoÂści nocnego nieba oraz paradoks grawitacyjny hierarchia musi speÂłniaĂŚ nierĂłwnoœÌ Ri+1/Ri>=pierwiastek(N i+1). OczywiÂście taka hierarchia, by speÂłniaĂŚ swoje zadanie przy rozwiÂązywaniu paradoksĂłw, rozciÂągaĂŚ siĂŞ musi aÂż do nieskoĂączonoÂści.
W roku 1922 austriacki uczony Franz Selety, pokazaÂł, Âże hierarchia zaproponowana przez Charliera wcale nie wymaga istnienia Âśrodka – ÂśrodkĂłw moÂże byĂŚ nieskoĂączenie wiele. PrzedstawiÂł on nastĂŞpujÂące postulaty kosmologiczne, ktĂłre jak pokazaÂł, wcale nie muszÂą byĂŚ ze sobÂą sprzeczne:
* nieskoĂączona przestrzeĂą
* nieskoùczona ³¹czna masa
* masa wype³niaj¹ca przestrzeù w taki sposób, ¿e wszêdzie ma skoùczon¹ gêstoœÌ
* uœredniona gêstoœÌ masy we Wszechœwiecie jest zerowa
* brak centralnego punktu lub obszaru we WszechÂświecie

(Selety nosiÂł wczeÂśniej nazwisko Jeiteles i kto wie czy to nie on wÂłaÂśnie opisany zostaÂł w jednym z opowiadaĂą Franza Kafki jako mĂŞdrzec rozprawiajÂący w praskich synagogach o dziwach WszechÂświata.)

OczywiÂście wszyscy ci uczeni zdawali sobie sprawĂŞ, Âże hierarchia kosmiczna nie bĂŞdzie tworzyÂła regularnych geometrycznych wzorĂłw i rozkÂład ciaÂł niebieskich jest w znacznym stopniu przypadkowy, ale nie ma to wiĂŞkszego znaczenia dla opisywanych praw. W czasach, gdy tworzyli oni swoje teorie obserwacje WszechÂświata byÂły jeszcze bardzo sÂłabo rozwiniĂŞte, nic wiĂŞc nie mogÂło tych hipotez potwierdziĂŚ.
Fakt, ¿e gwiazdy grupuj¹ siê w galaktykach, a Mleczna droga jest po prostu jedn¹ z wielu takich galaktyk odkryty zosta³ dopiero w po³owie lat dwudziestych. W latach trzydziestych zauwa¿ono, ¿e galaktyki maj¹ tendencje do skupiania siê w gromady. Amerykaùski astronom Edwin Carpenter dokona³ zastanawiaj¹cego odkrycia, ¿e iloœÌ gwiazd w gromadzie nie wzrasta wraz z trzeci¹ potêg¹ rozmiarów gromad (czego nale¿a³oby oczekiwaÌ), ale roœnie wolniej i wyk³adnik potêgi wynosi 1,5. Pod koniec lat szeœÌdziesi¹tych zaobserwowan¹ przez Carpentera prawid³owoœÌ badaÌ zacz¹³ Francuz GÊrard Henri de Vaucouleurs. Potwierdzi³ on obserwacje Carpentera, oraz zauwa¿y³ doœÌ dziwn¹ prawid³owoœÌ, ¿e wszyscy obserwatorzy, umieszczeni w dowolnym miejscu we wnêtrzu hierarchii stwierdz¹, ¿e zwiêkszaj¹c zasiêg obserwacji, œrednia gêstoœÌ materii maleje. Prace de Vaucouleursa zosta³y Ÿle przyjête w œrodowisku kosmologów i on sam przesta³ na te tematy pisywaÌ.
PrzeÂłom nastÂąpiÂł, gdy w 1977 roku Benoit Mandelbrot przewidziaÂł, Âże galaktyki we WszechÂświecie rozmieszczone sÂą w sposĂłb fraktalny i podaÂł pierwszy matematyczny opis ich rozkÂładu. ZaproponowaÂł on dojrzaÂły matematyczny model rozkÂładu materii, gdzie „nie ma Âśrodka, a jest hierarchia”.
OczywiÂście kosmologiczne fraktale, sÂą to fraktale rzeczywiste, ktĂłre ró¿niÂą siĂŞ od ich matematycznych idea³ów w analogiczny sposĂłb, co ksztaÂłt ziemskiego globu ró¿ni siĂŞ od matematycznej kuli. Do tego sÂą to fraktale stochastyczne, a wiĂŞc takie, przy ktĂłrych tworzeniu decydujÂącÂą rolĂŞ odgrywajÂą procesy chaotyczne. Matematycznym przykÂładem fraktala stochastycznego moÂże byĂŚ zbiĂłr Cantora, w ktĂłrego konstrukcji losowo wybieraliÂśmy odrzucany odcinek. W kosmologii czynnikiem powodujÂącym „przypadkowoœÌ” rozmieszczenia materii sÂą niemoÂżliwe do przewidzenia czynniki zwiÂązane z ruchem i oddziaÂływaniami poszczegĂłlnych elementĂłw.
Z pojêciem fraktali ³¹czy siê wa¿ne pojêcie wymiaru fraktalnego. W kosmologii pojêcie to mo¿na traktowaÌ jako miarê zale¿noœci iloœci galaktyk od odleg³oœci. Dla modelu Charliera wymiar fraktalny wynosi dwa, co oznacza, ¿e iloœÌ materii wzrasta z kwadratem, a nie z trzeci¹ potêg¹ rozmiarów. Najbardziej nieoczekiwanym odkryciem, którego na pocz¹tku lat osiemdziesi¹tych dokona³a grupa w³oskich astrofizyków pod kierownictwem Luciano Pietronero, by³o to, ¿e (w skali do piêciu megaparseków) obserwowany rozk³ad galaktyk wykazywa³ strukturê fraktaln¹, o wymiarze niemal dok³adnie równym 2. Obroùcy jednorodnoœci rozk³adu galaktyk nie poddali siê i model fraktalny zosta³ gwa³townie zaatakowany. W 1996 roku dosz³o do s³ynnego zak³adu miêdzy Pietronero, a broni¹cym jednorodnoœci Davisem, o to czy skala fraktalnoœci przekroczy 15 megaparseków (lokalna gromada galaktyk ma œrednicê oko³o jednego megaparseka). Fakt ¿e konserwatywni kosmologowie nie chcieli siê zgodziÌ na model fraktalny nie powinien nas dziwiÌ. Przy fraktalnym rozk³adzie materii Big-Bang przestanie ju¿ byÌ potrzebny przy wyjaœnianiu paradoksów Olbersa i grawitacyjnego. Co wa¿niejsze jednak jednorodnoœÌ jest podstawowym za³o¿eniem t³umacz¹cym ekspansjê Wszechœwiata (dla kosmosu fraktalnego nie mo¿na by zastosowaÌ modeli Fridmana przewiduj¹cych jednorodn¹ ekspansjê Wszechœwiata), do tego gigantyczne fraktalne struktury wymaga³yby do swego uformowania czasu znacznie wiêkszego ni¿ przewidywany przez BB wiek Wszechœwiata. FraktalnoœÌ (wprawdzie dopiero przy istnieniu ogromnych iloœci ciemnej materii skupionej w sposób analogiczny co materia œwiec¹ca) mo¿e równie¿ wyt³umaczyÌ redshift jako efekt przesuniêcia grawitacyjnego. Wracaj¹c do wspomnianego wy¿ej zak³adu miêdzy dwoma uczonymi, najnowsze obserwacje wy³oni³y ju¿ zwyciêzcê - fraktalnoœÌ potwierdzona zosta³a najpierw w skali 50 megaparseków, potem w skali 100 megaparseków, a obecnie, w sposób niemal ca³kowicie pewny w skali 500 megaparseków, zaœ w sposób bardzo prawdopodobny w skali gigaparseka.

JednorodnoœÌ byÂła intuicyjnym zaÂłoÂżeniem, ktĂłre opanowaÂło ludzkie umysÂły i spod ktĂłrego wÂładania uwolniĂŚ siĂŞ byÂło niesÂłychanie trudno. Podobnie byÂło kiedyÂś z pojĂŞciem Âśrodka WszechÂświata. WydawaÂło siĂŞ, Âże WszechÂświat musi mieĂŚ Âśrodek i nawet tak wybitny umysÂł, jak Kopernik, zdoÂłaÂł Ăłw Âśrodek zaledwie przesun¹Ì z Ziemi ku SÂłoĂącu. Wieleset lat póŸniej, wierzono, Âże Âśrodek istnieje i znajduje siĂŞ w sercu Drogi Mlecznej. Kolejne przesuwanie tego „Âśrodka WszechÂświata”, ku coraz to dalszym obszarom, doprowadziÂło wreszcie uczonych do koncepcji, Âże Âśrodek w ogĂłle nie istnieje. Podobnie moÂże byĂŚ z koncepcjÂą kosmologicznej jednorodnoÂści. Gdy fraktalnoœÌ potwierdza siĂŞ na coraz to wiĂŞkszych skalach, dla nowych pokoleĂą uczonych moÂże siĂŞ staĂŚ czymÂś naturalnym, Âże granica, od ktĂłrej "zaczyna siĂŞ juÂż jednorodnoœÌ" po prostu nie istnieje.
Warto tu przypomnieĂŚ sÂłynne powiedzenie Maxa Plancka, Âże: "Nowe naukowe prawdy nie triumfujÂą dziĂŞki przekonaniu ich oponentĂłw i ukazaniu im ÂświatÂła prawdy, lecz raczej dlatego, Âże ich oponenci umierajÂą, a kolejne pokolenie Âłatwiej przyjmie to co nowe lecz juÂż ‘oswojone’."
http://kaskaderzy-kosmologii.blogspot.com/2008/02/odkrycie-kosmicznych-fraktali.html

[MichaÂł-AnioÂł]

Na tropie fraktalnego WszechÂświata


Ksi¹¿ka, o której piszê teraz, nale¿y do kategorii okreœlanej przeze mnie:

PRZEOCZONE,ZAPOMNIANE CHOCIA¯ CENNE i PIÊKNE

 

Fin - P.Teerikorpi oraz Rosjanin J.Baryszew napisali piĂŞknÂą pracĂŞ z pogranicza astronomii i historii astronomii zatytuÂłowanÂą:

WszechÂświat ,poznawanie kosmicznego Âładu

Wydali j¹ Jezuici, w swym krakowskim Wydawnictwie Apostolstwa Modlitwy za rad¹ Prof.Konrada Rudnickiego, który wspó³pracowa³ w badaniach z autorami w dziedzinie kosmologii obserwacyjnej.

Tekst jest wÂłaÂściwie raportem z badaĂą nie tylko nad strukturÂą wszechÂświata, ale takÂże z badaĂą nad historiÂą astronomii.

Rdzeniem tej ksi¹¿ki, jest nowa interpretacja skupisk materii gwiezdnej, wykorzystuj¹ca teoriê matematycznych obiektów zwanych fraktalami (termin wprowadzony do matematyki w 1975 roku przez Benoita Mandelbrota).

Fraktal, to obiekt matematyczny ,ktĂłrego czĂŞÂści majÂą struktury podobne do struktury caÂłoÂści. Jest on obiektem nie podlegajÂącym opisowi analitycznemu.

Pocz¹tek istnienia takich obiektów, to odkrycie przez Karla Weierstrassa funkcji ci¹g³ych nieró¿niczkowalnych (wykres takiej funkcji jest krzyw¹ ci¹g³¹ ,która w ¿adnym punkcie nie posiada pochodnej).

ZbiĂłr Cantora, dywanik SierpiĂąskiego, gÂąbka Mengera, fraktal Mandelbrota, to klasyczne przykÂłady fraktali.

Charakterystyczne w³aœciwoœci fraktali to : samopodobieùstwo, nieanalitycznoœÌ, hierarchia, iteracja, wymiar.

Fraktale, umo¿liwiaj¹ zrozumienie nieregularnoœci w przyrodzie, chropowatoœci, przypadkowoœÌ ,procesy chaotyczny .

Naturalnym fraktalem , czyli obiektem przyrodniczym, jest ÂśnieÂżynka albo pewien rodzaj pÂłatka Âśniegu, ”kwiaty” lodowe na szybach okien przy silnym mrozie, linia brzegu lÂądu z morzem, krajobraz gĂłrski, tory czÂąstek wykonujÂących ruchy Browna.

W kosmosie, fraktaln¹ strukturê wykazuj¹ : powierzchnie planet, ob³oki gazu miêdzygwiezdnego, ob³oki protogwiazd, gromady galaktyk i supergromady galaktyk(w³ókna, œciany, komórki puste).Opis struktur kosmicznych w jêzyku fraktali umo¿liwia symulacje i modelowanie rzeczywistych, obserwowanych zjawisk we wszechœwiecie.

WszechÂświat fraktalny w przedstawieniu Teerikorpiego i Baryszewa (wzmocnionym przedsÂłowiem genialnego matematyka B.Mandelbrota), to fenomen fascynujÂący dla czytelnika ,bo opisany jĂŞzykiem w miarĂŞ ÂścisÂłym a zarazem bardzo klarownym, literackim (w Âświetnym tÂłumaczeniu K.WÂłodarczyka ).

Fraktalnej strukturze wszechœwiata poœwiêcona jest czêœÌ czwarta ksi¹¿ki i dziêki niej, polski czytelnik, ma mo¿liwoœÌ poznania bardzo aktualnej wiedzy w tym zakresie, zdobytej przez œwiatowe zespo³y kosmologów nawet w miesi¹cach przygotowywania tej ksi¹¿ki(rok 2005)!

Jednak, treœÌ tej czêœci ksi¹¿ki, nie jest odizolowana od pozosta³ych. Uwa¿na lektura czêœci poprzedzaj¹cych j¹ ,pozwala dostrzec narodziny modelu fraktalnego ju¿ na pierwszych stronicach ,kiedy jest mowa o pogl¹dach presokratyków na budowê wszechœwiata.

Autorzy bowiem ,jednoczeœnie z prezentacj¹ nowego spojrzenia na kosmiczny ³ad przestrzeni i materii (fraktalny), pisz¹ bardzo oryginaln¹ historiê kosmologii. Materia³ faktograficzny tej historii (odkrycia, odkrywcy) jest przebogaty, wrêcz sensacyjny ,ale wed³ug mnie, nie to stanowi o oryginalnoœci pracy, lecz dwie g³ówne idee ,które go organizuj¹ i scalaj¹, czyni¹c z niego bajeczn¹ przygodê intelektualn¹, prze¿ywan¹ przez czytelnika.

Historia kosmologii(i kosmogonii) w ujêciu Teerikorpiego i Baryszewa, to g³êboki nurt myœli ludzkiej wci¹¿ atakuj¹cy archetypalny problem przyrody: g³adkoœci ,jednorodnoœci oraz idealnoœci fenomenów i obiektów przyrody z jednej strony ,a z drugiej strony ich przeciwieùstwa - chropowatoœci ,niejednorodnoœci i przypadkowoœci.

JuÂż staroÂżytni Grecy stali w rozdarciu intelektualnym ,za czym siĂŞ opowiedzieĂŚ: za platoĂąskim Âświatem wiecznych, niezmiennych oraz idealnych form geometrycznych bĂŞdÂących cieniami Idei Dobra i PiĂŞkna ,ktĂłre organizujÂą i determinujÂą ciemnÂą i chaotycznÂą hylos ,czy za babiloĂąsko-judaistycznÂą koncepcjÂą Âświata nieokreÂślonego, przypadkowego, Âświata fenomenĂłw i procesĂłw stwarzania, rodzenia, giniĂŞcia, umierania, procesĂłw – ich zdaniem - pozbawionych niezmiennych struktur formalnej koniecznoÂści.

Wybieraj¹c ten pierwszy biegun dualnego archetypu myœlenia o kosmosie, Grecy na wiele nastêpnych wieków utrwalili wizjê kosmologicznego ³adu: idealnoœÌ form przestrzenno-czasowych bez jakichkolwiek osobliwoœci w rodzaju pocz¹tku lub koùca, regularnoœÌ ruchów i prostota torów wêdrowania cia³ niebieskich, ca³kowity brak osobliwoœci w zestawie fizycznych parametrów gwiazd i ich uk³adów, wieczna niezmiennoœÌ trwania gwiazd bez narodzin, ewolucji i œmierci.

Jeszcze w latach dwudziestych ubiegÂłego wieku, dominowaÂła platoĂąsko-arystotelesowska wizja Âładu kosmicznego, do ktĂłrej idee osobliwoÂści i nieregularnoÂści oraz indeterminizmu nie miaÂły dostĂŞpu. Konstrukcja historii kosmologii wedÂług archetypalnego napiĂŞcia pomiĂŞdzy ideami: regularnoÂści i nieregularnoÂści, porzÂądku i chaosu ,koniecznoÂści i przypadkowoÂści, niezmiennoÂści i zmiennoÂści, przynosi powaÂżne korzyÂści metodologiczne i pozwala autorom na wprowadzenie elementĂłw dramatycznoÂści do tekstu lektury.

UjĂŞcie historii kosmologii, zaprezentowane w rozwaÂżanej pracy, owocuje rĂłwnieÂż udowodnieniem innej, doniosÂłej hipotezy metateoretycznej, hipotezy z zakresu metodologii nauk o przyrodzie.

W oparciu o unikalny materia³ faktograficzny autorzy pokazuj¹, ¿e narodziny i postêp nowej, fraktalnej kosmologii by³y wynikiem nie dzia³aù badawczych w obrêbie tzw. nauki instytucjonalnej, w domenie tzw. paradygmatu kultury naukowej ( terminologia T.S.Kuhna),lecz dokona³y siê poprzez indywidualne, samotnicze ,czêsto wyœmiewane i ignorowane prace uczonych, nie rzadko ,nie nale¿¹cych do europejskiej society naukowej (uczelnianej) danej epoki.

Partie ksi¹¿ki, w których czytamy o kie³kowaniu nowej wizji ³adu kosmicznego, z jej szczegó³owymi ideami (samopodobieùstwa, deterministycznego chaosu, strukturalnej z³o¿onoœci) autorstwa osób, które przez ca³e ¿ycie w dramatyczny sposób negowa³y oficjalny paradygmat nauki, nale¿¹ do najbardziej interesuj¹cych ,niezwyk³ych i maj¹ donios³e znaczenie poznawcze dla czytelnika.

Teerikorpi i Baryszew, z wielkÂą troskÂą i sympatiÂą pochylajÂą siĂŞ nad pracami, czĂŞsto wyrzuconych poza nawias oficjalnej kosmologii nowoÂżytnej, takich autorĂłw jak : E.Swedenborg,E.Fournier d’Albee,J.Lambert,K.Lundmark ,

G.leGentile,E.Mottola,E.Nottale,G.Nordstrom,T.Jaakkola,

J.HoltsmarkE.Harrison,C.Charlier,T.Agekyan ,F.Selety.

OdnajdujÂą w tych zapoznanych i zapomnianych odkryciach teoretycznych lub obserwacyjnych, tropy prowadzÂące do odsÂłon -nie przeczuwanych nawet- fenomenĂłw i obiektĂłw wszechÂświata, uczÂąc tym samym czytelnika, iÂż ludzka wiedza jest zawsze niepewna, a to, co za T.Kuhnem ,nazywamy “rewolucjÂą naukowÂą” nie jest dzieÂłem nauki instytucjonalnej, lecz ma charakter dramatycznych zmagaĂą samotnych umys³ów i serc z ciÂągle powiĂŞkszajÂącÂą siĂŞ tajemnicÂą istnienia przyrody i nas w niej.

Pozostaj¹ jednak pytania doœÌ wa¿ne z punktu widzenia rozwoju wiedzy o wszechœwiecie: czy model fraktalny obiektów kosmicznych jest p³odny ,czy li tylko jest opisem zjawisk w innym jêzyku? Czy sugeruje jakiœ nieznany dotychczas, mechanizm procesów i obiektów astronomicznych o strukturze fraktalnej?

Na przyk³ad : ciemnej materii, ciemnej energii? Czy hierarchia struktur we wszechœwiecie wykazuje lokaln¹ fraktalnoœÌ, czy przeciwnie- globaln¹? Jak wyt³umaczyÌ zadziwiaj¹c¹ zgodnoœÌ prawa Hubblea(które implikuje jednorodnoœÌ rozk³adu galaktyk) i fraktalne rozmieszczenie galaktyk nawet do odleg³oœci 100 Mpc ?

Czy grupowanie gromad galaktyk ma ten sam wymiar fraktalny, co grupowanie galaktyk? A czy rozk³ad fraktalny skupisk obiektów (galaktyk, gromad galaktyk) przechodzi w jednorodny i na jakich odleg³oœciach od ziemskiego obserwatora to zachodzi? Siêganie na odleg³oœÌ gigaparseków ,to tym samym cofanie siê wstecz w historii wszechœwiata, wobec tego wykrycie megafraktali, mo¿e mieÌ znaczenie dla naszej wiedzy o bardzo wczesnym wszechœwiecie.

Autorzy ksi¹¿ki s¹ optymistami, co do znalezienia odpowiedzi na te pytania, gdy¿ uwa¿aj¹ ,¿e rewolucja w kosmologii polega na przejœciu od spekulacji teoretycznych do obserwacji i modelowego badania struktury wszechœwiata.

[brahman]

Witam!
OdpowiedÂź dla  MHS

PosÂługujĂŞ siĂŞ programem do tworzenia fraktali i wybieram w nim dowolne liczby. Na podglÂądzie patrzĂŞ co z nich powstaje oraz dodatkowo mogĂŞ graficznie manipulowaĂŚ trĂłjkÂątem, ktĂłry jest graficznym wyraÂżeniem jednej z wielu moÂżliwoÂści. Przy wyborze np 3 moÂżliwoÂści mam trzy trĂłjkÂąty ktĂłre mogĂŞ dowolnie przemieszczaĂŚ i nadawaĂŚ im dowolne wartoÂści w kilkunastu moÂżliwoÂściach
TrochĂŞ moÂże to zawiÂłe ale nie da siĂŞ w paru sÂłowach opisaĂŚ dziaÂłania programu.
Program ten ma w nieskoĂączonÂą liczbĂŞ moÂżliwoÂści a kierujĂŞ siĂŞ intuicjÂą i tym czy dany fraktal podoba mi siĂŞ czy nie.

Za³¹czam ostatni mój fraktal. Pozdrawiam.

[tijavar]

PiĂŞkny!!

[MEM HEI SHIN]

Program ten ma w nieskoĂączonÂą liczbĂŞ moÂżliwoÂści a kierujĂŞ siĂŞ intuicjÂą i tym czy dany fraktal podoba mi siĂŞ czy nie.

  Tak teÂż myÂślaÂłem.
ChodziÂło mi w sumie oto, aby nie zapomnieĂŚ, Âże
fraktal istnieje wtedy, gdy mamy do czynienia z choÌby z jedn¹ geometri¹ kaszta³tu, w której wystêpuje wspó³zale¿noœÌ F- 0.618.
Im wiĂŞkszy odstĂŞp od  0,618 tym ''mniejszy fraktal''.
JeÂżeli coÂś jest piĂŞkne ( nasze subiektywne odczucie) nie znaczy to tym samym, Âże jest fraktalne, prawda ?

PoniewaÂż energie wszechÂświata biegnÂą coraz szybciej i mamy coraz wiĂŞkszÂą wymianĂŞ informacji  z tzw.''polem powszechnym'' doszÂło do mnie, Âże  energia to przecieÂż nic innego tylko skompresowana fraktalnie informacja.
KsztaÂłty i formy geometryczne w istocie stanowiÂą tylko noÂśnik informacji.
Jednak w dalszym ci¹gu nie mogê poj¹Ì gdzie istnieje zapis œwiadomoœci ( czyli zbioru informacji).
Jak to Leszek chcia³ mi wyjaœniÌ, w którymœ z postów, ze œwiadomoœÌ wynika z formy.

Ok.
PrzecieÂż czÂłowiek ''umiera''.Forma i wszystko co z niÂą siĂŞ wi¹¿e ulega rozkÂładowi. CaÂła energia tej formy zgodnie  z prawem entropi zostaje wrzucona do otoczenia.
Ale œwiadomoœÌ i wszystkie jej doœwiadczenia nie gin¹ !
PamiĂŞĂŚ jest wieczna ! I nie zaleÂży ona od tego, czy ktoÂś Âżyje czy nie ? ! StÂąd byÂło moje pytanie, gdzie jest zrobiony zapis wszystkich (informacji) - doÂświadczeĂą  jednostki skoro ta forma ( geometryczny ksztaÂłt) ulega  destrukcji ?




 

[MichaÂł-AnioÂł]

TrochĂŞ podstaw dotyczÂących fraktali

DOMINIK SZCZERBA
FRAKTALNE OBLICZE NATURY
ArtykuÂł pochodzi z "Wiedzy i ÂŻycia"nr 10/1996
W 1980 roku Benoit Mandelbrot bada³ numerycznie pewne wielomiany zespolone i otrzyma³ interesuj¹ce wykresy. Patrz¹c na nie, wysnu³ przypuszczenie, ¿e geometria euklidesowa nie nadaje siê do opisu przyrody - góry nie s¹ sto¿kami, a linia brzegowa nie jest odcinkiem. S¹ to raczej, jak to okreœla³ Euklides, "bezkszta³tne" formy, które Mandelbrot nazwa³ fraktalami - od ³aciùskiego s³owa fractus co znaczy "podzielony", "u³amkowy". Nazwa ta jest adekwatna - dobrze oddaje strukturê fraktali. Charakteryzuje je bowiem wysokie samopodobieùstwo - ka¿dy fragment przypomina ca³oœÌ.

Nie jest ³atwo jednoznacznie zdefiniowaÌ, co to s¹ fraktale. Za kryterium mo¿na jednak przyj¹Ì wymiar (przypomnijmy: w zwyk³ej "naszej geometrii" euklidesowej prostej przypisujemy wymiar - 1, p³aszczyŸnie - 2, przestrzeni - 3, czyli liczby naturalne), który dla fraktali liczb¹ naturaln¹ w³aœnie nie jest, jakkolwiek mo¿e siê to wydawaÌ nieco dziwne.

Dok³adne zrozumienie mechanizmu powstawania fraktali wymaga znajomoœci liczb zespolonych. Poniewa¿ matematyczne wywody s¹ doœÌ skomplikowane i mog¹ zanudziÌ nie obeznanego z matematyk¹ czytelnika, postaram siê przybli¿yÌ to pojêcie. Generalnie fraktale - to taka interpretacja graficzna pewnych równaù czy ci¹gów, które do niedawna uchodzi³y za matematyczne potworki, zupe³nie abstrakcyjne i nie maj¹ce ¿adnych odniesieù do rzeczywistoœci. Ich tworzenie polega na powtarzaniu w nieskoùczonoœÌ okreœlonych czynnoœci, na liczeniu kolejnych elementów pewnych ci¹gów i dobieraniu koloru rysowanego punktu w zale¿noœci od wyniku. Chc¹cych siê dowiedzieÌ czegoœ wiêcej odsy³am do odpowiednich ramek.

Jaka jest faktyczna struktura przyrody? Na obrazkach dzieci jawi siê ona czêsto jako kombinacje prostych bry³ geometrycznych (dom - kwadrat, s³oùce - kó³ko, pies - prostok¹t, chmura - elipsa itd.). Patrzymy na to z odrobin¹ wy¿szoœci, ale - tak na prawdê - czy nasze pojmowanie œwiata tak bardzo ró¿ni siê od jego pojmowania przez dziecko? Proszê spróbowaÌ narysowaÌ wodê albo chmurê z ca³¹ jej skomplikowan¹ struktur¹. Nie jest to takie ³atwe, prawda? Czy mo¿na powiedzieÌ, ¿e chmura jest elipsoid¹ albo prostopad³oœcianem? A drzewo? Czy mo¿na jednoznacznie powiedzieÌ, ¿e pieù to sto¿ek, liœcie to trójk¹ty, a ga³êzie to odcinki? Jak nazwaÌ kszta³t p³omienia albo b³yskawicy?


To w³aœnie s¹ przyk³ady wystêpuj¹cych w przyrodzie obiektów fraktalnych. Chmura stanowi niew¹tpliwie jedn¹ ca³oœÌ, ale jest "dziurawa" jak g¹bka, poniewa¿ sk³ada siê z nieprzebranej iloœci mikroskopijnych kropelek wody i pary wodnej. Jest wiêc odrêbn¹ ca³oœci¹, ale z³o¿on¹ z wielu mniejszych ca³oœci, tak¿e odrêbnych. Je¿eli "wytniemy" ma³y kawa³ek chmury, to otrzymamy coœ bardzo do niej podobnego. Gdy od³upiemy kawa³ek ska³y, to otrzymamy miniaturkê ca³ej ska³y. I jeœli sfotografujemy od³upany fragment bez ¿adnego uk³adu odniesienia (np. pude³ka zapa³ek, którego wielkoœÌ znamy), to nie bêdziemy w stanie odró¿niÌ go od prawdziwej góry (ten efekt bardzo czêsto wykorzystuje siê w trikach filmowych)! Podobnie fraktale: nie mo¿na jednoznacznie nazwaÌ ich kszta³tów, a przy tym charakteryzuj¹ siê one du¿ym samopodobieùstwem - fragment przypomina ca³oœÌ, równie¿ przy fraktalach ró¿nych rodzajów.

Przygl¹daj¹c siê fraktalom, ciê¿ko siê oprzeÌ wra¿eniu, ¿e formy te s¹ nam znajome. Na za³¹czonych ilustracjach przedstawiam ró¿nego rodzaju przyk³ady. Zosta³y one wygenerowane przeze mnie na komputerze w du¿ej liczbie kolorów (w oryginale ponad szesnaœcie milionów ró¿nych barw, w druku wszystkich nie da siê odtworzyÌ). WidaÌ ich podobieùstwo do ognia, wody, szronu. Efekt plazmy doskonale oddaje chaotyczn¹ strukturê chmur, a specyficzne spirale-ramiona przypominaj¹ konika morskiego, rozgwiazdy, glony, czy morskie wodorosty; jednego z przedstawionych fraktali mo¿na wprost pomyliÌ z wizerunkiem b³yskawicy (to nie jest zdjêcie nieba podczas burzy! - patrz: ostatni fraktal).

Podobieùstwo to bierze siê st¹d, ¿e fraktale maj¹ charakterystyczny, chaotyczny "kszta³t", który znacznie lepiej oddaje strukturê przyrody ni¿ tradycyjne pojêcia geometrii. Jednak najdziwniejsze, i jak na razie najbardziej tajemnicze, jest Ÿród³o tych podobieùstw. Có¿, jest to zagadnienie z dziedziny metafizyki... Mo¿e kiedyœ bêdziemy umieli je rozwi¹zaÌ. Do niedawna w nauce panowa³ deterministyczny pogl¹d, ¿e wszystko mo¿na przewidzieÌ i obliczyÌ. Pogl¹d ten ostatnio zacz¹³ siê powa¿nie chwiaÌ, a jednoczeœnie nadzieje pok³adane w komputerach i ich mocy obliczeniowej okaza³y siê przesadne. WeŸmy na przyk³ad powierzchniê wody w jeziorze. Dopóki jest ona p³aska (nie ma wiatru) mo¿na przyj¹Ì, ¿e jest zwyk³¹, ³atw¹ do opisania matematycznie p³aszczyzn¹. Gdy wrzucimy do jeziora jeden lub dwa drobne kamyczki, to powsta³e fale koliste te¿ mo¿emy od biedy opisaÌ odpowiednim równaniem mechaniki falowej. Ale gdy wrzucimy ca³¹ garœÌ takich kamyków, albo jeden wielki kamieù nieforemny, to nie ma ¿adnych szans na policzenie wspó³rzêdnych cz¹stek, tworz¹cych powierzchniê tafli jako funkcji czasu. Mo¿na powiedzieÌ, ¿e absolutnie nie da siê przewidzieÌ dok³adnego zachowania wody po wrzuceniu w ni¹ kamienia - nie mówi¹c ju¿ o obliczeniach w czasie rzeczywistym! Ka¿dy widzia³, jaki powstaje w tym czasie chaos - jest to bardzo piêkne, ale nigdy nie da siê znaleŸÌ funkcji analitycznej, która opisze takie zjawisko ze stuprocentow¹ dok³adnoœci¹. Ka¿dy natomiast potrafi narysowaÌ drzewo, poniewa¿ ono w miarê kojarzy siê z walcem, sto¿kiem, odcinkami itp.
Ale proszĂŞ sprĂłbowaĂŚ dokÂładnie narysowaĂŚ wytrysk wody albo powierzchniĂŞ morza podczas ulewy i burzy... TrudnoÂści sÂą spowodowane tym, Âże obiekty tego typu ciĂŞÂżko opisaĂŚ w terminach zwykÂłej geometrii. Gdy jednak zamiast jĂŞzyka tradycyjnej geometrii uÂżyjemy jĂŞzyka fraktali - problem znacznie siĂŞ uproÂści. I tak - powstaje filozoficzne pytanie o piĂŞkno. Czy piĂŞkne jest to, co proste, czy to, co chaotyczne, nieuporzÂądkowane? OsobiÂście jestem przekonany, Âże piĂŞkno to synonim pewnej odmiany chaosu, swoistego porzÂądku w nieporzÂądku. PÂłomieĂą ognia jest tak prosty, a jednak tak skomplikowany...

Zreszt¹ nikt chyba nie w¹tpi w piêkno przyrody, a ona z du¿¹ doz¹ prawdopodobieùstwa wybra³a wszelkie ogl¹dane przez nas rozwi¹zania w idealnie odpowiednich proporcjach. Mia³a w koùcu na to sporo czasu... Jestem przekonany - choÌ dopuszczam i s¹d nie tak skrajny - ¿e ¿aden obraz, nawet najwiêkszego mistrza pêdzla, nigdy nie bêdzie doskonalszy od arcydzie³a najwiêkszego artysty, jakim jest Natura.

A fraktale? MoÂże jednak wykradliÂśmy Naturze skrawek zazdroÂśnie strzeÂżonego przepisu na piĂŞkno?

Ktoœ mo¿e jednak zapytaÌ - obrazki s¹ bardzo ³adne, ale co z tego? Czy mamy z nich jakikolwiek po¿ytek, czy te¿ jest to jedynie nikomu niepotrzebna ciekawostka matematyczna? Otó¿ okazuje siê, ¿e algorytmy, s³u¿¹ce do generowania ró¿nego rodzaju fraktali, maj¹ zastosowania praktyczne, i to doœÌ wa¿ne. Po pierwsze - przekszta³ceù fraktalnych mo¿na u¿ywaÌ do kodowania obrazów, a co za tym idzie - do ich kompresji, czyli zmniejszania rozmiarów opisuj¹cych je plików komputerowych. Po drugie - algorytmy fraktalne wykorzystuje siê do nadawania realistycznych tekstur tworzonym na komputerze obiektom - ma to z kolei szerokie zastosowanie w technikach przetwarzania obrazu wideo. Wreszcie, za pomoc¹ fraktali mo¿na sztucznie generowaÌ na komputerze wirtualne œwiaty, do z³udzenia przypominaj¹ce rzeczywiste krajobrazy górskie, morze, s³oùce itp. Niektóre z nich daj¹ efekty zdumiewaj¹ce.

Wspomniana wy¿ej fraktalna kompresja obrazu, to ostatnio bardzo modne zagadnienie. Okazuje siê bowiem, ¿e o ile z przechowywaniem pojedynczych obrazów nie ma specjalnie wiêkszych problemów, o tyle w wypadku cyfrowych filmów (bêd¹cych przecie¿ ci¹gami pojedynczych obrazów, szybko odtwarzanych jeden po drugim), ich zapotrzebowanie na miejsce w pamiêci komputera jest zbyt du¿e. Dla przyk³adu: jeden obraz w rozdzielczoœci 1280 na 1024 punktów w 24 bitach koloru, czyli taki, jaki stosuje siê podczas profesjonalnego przekszta³cenia obrazu wideo bez ¿adnej kompresji zajmie w pamiêci komputera 1280 x 1024 x 3 = 3 932 160 bajtów, czyli prawie 4 MB (megabajty). Za³ó¿my, ¿e mamy krótki cyfrowy film, o d³ugoœci trwania 15 minut. Jak wiadomo minimalna prêdkoœÌ odtwarzania poszczególnych obrazów, ¿eby nasze oko odbiera³o je jako p³ynny film, wynosi 25 klatek na sekundê. Czyli mamy 25 klatek na sekundê po 4 MB na jedn¹ klatkê przez 15 minut, czyli 25 x 15 x 60 x 4 = 90 000 MB = 90 GB (gigabajtów), czyli potwornie du¿o! Dla przyk³adu - pojemnoœÌ p³yty kompaktowej to oko³o 700 MB, pojemnoœÌ najwiêkszych dysków twardych wynosi obecnie blisko 3 GB. Jak widaÌ, s¹ to wielkoœci co najmniej kilkanaœcie razy za ma³e, a pamiêtajmy, ¿e nasz piêtnastominutowy film to bardzo skromne przedsiêwziêcie.

Od dawna znane s¹ ró¿ne sposoby kompresji danych (np. u¿ywane w popularnych archiwizerach, jak LHA, LZX, ARJ, itp.), jednak nie sprawdzaj¹ siê one zupe³nie przy kompresji danych graficznych. Po pierwsze oferuj¹ kompresjê o niewielkim stosunkowo stopniu, a po drugie dekompresja trwa znacznie d³u¿ej, ni¿ wymagany minimalny czas 1/25 sekundy. Naturalne jest wiêc, ¿e zaczêto szukaÌ próby takich metod kompresji, które da³yby znacznie wiêkszy stopieù "œciœniêcia" plików i znacznie krótszy czas dekompresji. Czy to jest w ogóle mo¿liwe do realizacji? Okazuje siê, ¿e tak. Jednak¿e cen¹, jak¹ musimy za to zap³aciÌ jest utrata jakoœci skompresowanego obrazu. Na szczêœcie ów spadek jakoœci jest czêsto prawie niezauwa¿alny, a poza tym wspó³czynnik kompresji rzêdu nawet kilkudziesiêciu do jednego ca³kowicie rekompensuje nam straty.

Problematyk¹ t¹ zainteresowano siê g³ównie za spraw¹ M. Barnsleya, który skomercjalizowa³ ten sposób postêpowania. W tym tekœcie przedstawiê jedynie prost¹ ideê postêpowania z obrazkiem w odcieniach szaroœci - dok³adne algorytmy s¹ bardzo skomplikowane i czêsto chronione patentami. Otó¿ z danego obrazka tworzy siê pewn¹ funkcjê matematyczn¹ przez przypisanie ka¿demu z punktów obrazka liczby, bêd¹cej jasnoœci¹ tego punktu obrazu. Im dany punkt jest jaœniejszy, tym wiêksz¹ wartoœÌ bêdzie przyjmowa³a funkcja; im ciemniejszy, tym mniejsz¹. Podstaw¹ fraktalnej kompresji obrazu jest to, ¿e ka¿dy obraz mo¿e byÌ traktowany jako odpowiednio przekszta³cone (afinicznie - jeœli ktoœ zna ten termin) kopie czêœci samego siebie. Dzia³anie takiego algorytmu opiera siê wiêc na podzieleniu obrazu (œciœlej - dziedziny owej funkcji) na fragmenty i nastêpnie podaniu przekszta³ceù, za pomoc¹ których mo¿na odtworzyÌ ca³y obraz z jego czêœci. Postêpowanie takie oczywiœcie nie da nam dok³adnie obrazu wyjœciowego - musimy dopuœciÌ pewien b³¹d, czyli okreœlon¹ niezgodnoœÌ z orygina³em. Jednak przy takiej kompresji mog¹ byÌ jeszcze wybierane przekszta³cenia, daj¹ce najmniejsz¹ ró¿nicê skompresowanego obrazu w stosunku do obrazu wyjœciowego, co pozwala sterowaÌ jakoœci¹. W postaci nieskompresowanej obraz jest zapisywany (z grubsza) w postaci tablicy - wspó³rzêdne punktu obrazu i odpowiadaj¹cy im kolor.

Natomiast po kompresji obraz taki bêdzie zapisany ju¿ nie jako tablica, ale jako zbiór przekszta³ceù matematycznych - i tu w³aœnie le¿y tajemnica du¿ego stopnia kompresji. Obraz - poddany takiej kompresji - nie bêdzie ju¿ wiern¹ kopi¹ orygina³u, a tylko jego przybli¿eniem. Jednak, jak wspomnia³em, przybli¿enie to jest na ogó³ zadowalaj¹ce, a ju¿ na pewno op³acalne, bior¹c pod uwagê, ¿e mo¿emy w ten sposób zmniejszyÌ rozmiar obrazu kilkadziesi¹t (a nawet kilkaset!!!) razy.

O ile kodowanie i dekodowanie poszczególnych obrazów nie przedstawia wiêkszych problemów (ostatecznie na zdekodowanie jednego obrazka mo¿emy poczekaÌ nawet parê sekund), o tyle w przypadku filmów potrzebny jest czas dekompresji - jak mówiliœmy - bardzo krótki. I tu mamy pewien dylemat, bo im bardziej zale¿y nam na wiernoœci skompresowanego obrazu w stosunku do orygina³u, tym d³u¿szy okazuje siê czas dekompresji i tym mniejszy jest stopieù kompresji. I na odwrót - najkrótszy czas dekompresji i najwiêkszy wspó³czynnik kompresji, to znacz¹ce zniekszta³cenia obrazu, spadek jakoœci i zauwa¿alne ró¿nice w stosunku do obrazu wyjœciowego.

Konieczny jest wiêc pewien kompromis - wszystko zale¿y od mocy obliczeniowej komputera, jakim siê dysponuje, oraz pojemnoœci jego pamiêci. Badania nad ulepszeniem metod fraktalnej kompresji obrazu wci¹¿ trwaj¹. Istnieje jeszcze jedna zaleta takiego sposobu kompresji - dobra jakoœÌ obrazu nawet przy czterokrotnym powiêkszeniu. Ka¿dy, kto choÌ trochê bawi³ siê grafik¹ na komputerze, zna doskonale efekt powiêkszania komputerowych zdjêÌ - zwany w informatycznym ¿argonie pikselizacj¹. Prowadzi on do pojawienia siê na ekranie monitora charakterystycznych kwadracików, wywo³uj¹cych wra¿enie "ziarnistoœci" obrazu. Metoda fraktalnej kompresji pozwala jednak na zapamiêtanie obrazu w postaci zbioru funkcji matematycznych, co z kolei pozwala na odtworzenie obrazu z dobr¹ dok³adnoœci¹ - teoretycznie w dowolnej skali. Czemu tylko teoretycznie? Dlatego, ¿e jesteœmy ograniczeni zdolnoœci¹ rozdzielcz¹ urz¹dzenia, za pomoc¹ którego wczytaliœmy obraz do komputera (tzw. skanera lub digitalizera), jak i jakoœci¹ samego obrazu (np. zdjêcia). Nie nale¿y wiêc oczekiwaÌ, ¿e przy milionowym powiêkszeniu zobaczymy strukturê komórek skóry przedstawionego na zdjêciu cz³owieka, czy te¿ cz¹steczki materia³u jego koszuli, bo otrzymane przy takim powiêkszeniu obrazy nie bêd¹ ju¿ mia³y nic wspólnego z rzeczywistoœci¹. Jednak przy powiêkszeniu niewielkim (np. czterokrotnym) jakoœÌ powiêkszonego obrazu bêdzie znacznie lepsza od powiêkszonego o tyle samo orygina³u - w ogóle nie bêdzie pikselizacji!

Algorytmy generowania fraktali mo¿na te¿ wykorzystaÌ do sztucznego generowania krajobrazów. S¹ programy komputerowe, za pomoc¹ których mo¿na generowaÌ pseudozdjêcia, a nawet ca³e animacje. Jest to bardzo przydatne w ró¿nego rodzaju technikach wideo (np. triki filmowe), gdzie na przyk³ad bardziej op³aca siê "zburzyÌ" sztuczn¹, istniej¹c¹ tylko w pamiêci komputera górê lub zasymulowaÌ zejœcie z takiej góry sztucznej lawiny, ni¿ robiÌ to w rzeczywistoœci. Na pocz¹tku, gdy tylko pojawi³y siê takie programy, wiêkszoœÌ ludzi patrzy³a na efekty ich dzia³ania z politowaniem - widaÌ by³o bowiem wyraŸnie, ¿e tworzone obrazy s¹ sztuczne, ¿e brakuje w nich tego "czegoœ". To brakuj¹ce "coœ" okaza³o siê fraktalnymi technikami generowania naturalnych obiektów wystêpuj¹cych w przyrodzie.

Istnieje sporo programĂłw wykorzystujÂących do generowania obrazĂłw te techniki (SoftImage, Lightwave, Real3D). Efekty ich dziaÂłania moÂżemy podziwiaĂŚ w wiĂŞkszoÂści stosunkowo nowych (najwyÂżej sprzed paru lat) filmĂłw science fiction i fantasy, gdzie istnieje potrzeba stworzenia nie istniejÂących przecieÂż w rzeczywistoÂści - ale jednak realistycznych - scenerii.

KoĂączÂąc ten artykuÂł namawiam do krĂłtkiej refleksji. We fraktalach uderza piĂŞkno przypadkowych kompozycji - a jednoczeÂśnie wysokie samopodobieĂąstwo i symetria. W swoich pracach Mandelbrot wyraÂżaÂł poglÂąd, Âże caÂła przyroda ma strukturĂŞ fraktalnÂą, a twory czysto geometryczne w ogĂłle nie istniejÂą, sÂą jedynie stworzonymi przez ludzi uproszczeniami.

JeÂśli popatrzymy na wzburzone morze o zachodzie sÂłoĂąca lub zamarzniĂŞtÂą na szybie parĂŞ wodnÂą, to wydaje siĂŞ, Âże Mandelbrot miaÂł duÂżo racji...

LICZBY ZESPOLONE

Liczby zespolone moÂżemy utoÂżsamiaĂŚ z punktami pÂłaszczyzny

Liczba zespolona to liczba postaci z = a + bi, gdzie a to tzw. czêœÌ rzeczywista [oznaczana jako Re(z)], b to czêœÌ urojona [oznaczana jako Im(z)], zaœ i to wielkoœÌ spe³niaj¹ca równanie i2 + 1 = 0. Proszê zwróciÌ uwagê, ¿e i2 = -1, co nie zachodzi dla ¿adnej liczby rzeczywistej. Wniosek: i nie jest liczb¹ rzeczywist¹. Zbiór liczb zespolonych jest uogólnieniem zbioru liczb rzeczywistych - te ostatnie to szczególny przypadek tych pierwszych dla b = 0. Liczby zespolone przedstawiamy na p³aszczyŸnie jako uporz¹dkowane pary liczb (a, b). Uk³ad wspó³rzêdnych przypomina kartezjaùski, ale zamiast osi x i y mamy oœ rzeczywist¹ Re(z) i oœ urojon¹ Im(z). Liczbie 1 - 2i odpowiada wiêc punkt (1, -2) w takim uk³adzie wspó³rzêdnych, liczbie 3i odpowiada punkt (0, 3), liczbie 2 punkt (2, 0) itd. Oto jak przedstawia siê w takim zbiorze dodawanie i mno¿enie: z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i = A + Bi gdzie A = a1 + a2, zaœ B = b1 + b2. Na p³aszczyŸnie jest to wiêc po prostu punkt o wspó³rzêdnych (a1 + a2, b1 + b2) z1 z2 = (a1 + b1 i) (a2 + b2 i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1) i = A + Bi gdzie A = a1a2 - b1b2, B = a1b2 + a2b1. Na p³aszczyŸnie jest to punkt o wspó³rzêdnych (a1a2 - b1b2, a1b2 + a2b1). Je¿eli mamy dany punkt z = a + bi, oraz zachodzi a2 + b2 < R2 dla jakiegoœ R bêd¹cego liczb¹ rzeczywist¹ dodatni¹, to graficznie taki punkt le¿y wewn¹trz ko³a o œrodku w pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych i o promieniu równym R.
ZBIORY MANDELBROTA

Tak zaczynamy konstruowaĂŚ fraktal Mandelbrota

WyobraŸmy sobie ci¹g liczb zespolonych z0, z1, z2, z3,... i przyjmijmy, ¿e pierwszy wyraz ci¹gu jest zerem, a ka¿dy nastêpny wyra¿a siê przez kwadrat poprzedniego, zwiêkszony o pewn¹ sta³¹ zespolon¹, czyli zn + 1 = zn2 + c, gdzie c oznacza pewn¹ sta³¹ zespolon¹, spe³niaj¹c¹ tu rolê parametru. Dla u³atwienia podam kilka pierwszych elementów tego ci¹gu: z0 = 0, z1 = c, z2 = c2 + c, z3 = (c2 + c)2 + c, z4 = [(c2 + c)2+c]2 + c..., itd. gdzie dodawanie i potêgowanie nale¿y rozumieÌ w sensie dzia³aù na liczbach zespolonych.

Okazuje siĂŞ, Âże dla pewnych wartoÂści parametru c ciÂąg z0, z1, z2, z3,... jest ograniczony na pÂłaszczyÂźnie zespolonej, a dla innych - nie. Ograniczony oznacza tu: mieszczÂący siĂŞ w caÂłoÂści wewnÂątrz koÂła o pewnym skoĂączonym promieniu. Mamy tu do czynienia z analogiÂą do geometrii - bo przecieÂż liczbom zespolonym odpowiadajÂą (patrz: ramka s. 23) punkty na pÂłaszczyÂźnie; na przykÂład kwadrat, odcinek czy zbiĂłr skoĂączonej liczby punktĂłw jest oczywiÂście zbiorem ograniczonym, zawsze bowiem moÂżna dobraĂŚ koÂło o takim promieniu, ktĂłre go "przykryje". Ale prosta czy pÂłaszczyzna juÂż nie sÂą zbiorami ograniczonymi.

Narysujmy uk³ad wspó³rzêdnych o osiach Re(c) oraz Im(c), a w nim ko³o o œrodku w punkcie (0, 0) o promieniu - powiedzmy - 2. Ustalmy jakiœ zakres zmian parametru c, np. -2 < Re(c) < 1, -1.5 Im(c) < 1.5. Zbiór tych wartoœci utworzy kwadrat. Narysujmy go równie¿ - wewn¹trz niego powstanie nasz fraktal.

Gdybyœmy teraz rysowali po kolei punkty owego ci¹gu, to zobaczylibyœmy, ¿e albo wszystkie zmieszcz¹ siê wewn¹trz zadanego ko³a, albo czêœÌ poza to ko³o "wyjdzie". Ale tu pojawia siê problem: koniec koùców trzeba narysowaÌ wszystkie wyrazy ci¹gu co, z powodów - nazwijmy je - czasowych, jest raczej niewykonalne.

W praktyce robi siê nieco inaczej. Dla ka¿dego punktu le¿¹cego wewn¹trz kwadratu obliczamy N pierwszych wyrazów ci¹gu (N jest odpowiednio du¿e, np. kilkaset) i sprawdzamy warunek ograniczonoœci powsta³ego zbioru punktów, czyli rysujemy je na wykresie, obserwuj¹c czy wszystkie le¿¹ wewn¹trz narysowanego wczeœniej ko³a. Je¿eli wszystkie spe³niaj¹ ten warunek, to domniemywamy, ¿e wszystkie nastêpne punkty te¿ go bêd¹ spe³niaÌ - rysujemy punkt o wspó³rzêdnych rozwa¿anego w³aœnie punktu c i bierzemy punkt nastêpny. Gdy jakikolwiek punkt opuœci ko³o, to przechodzimy do nastêpnego bez ¿adnej akcji. I tak dalej... To, co otrzymamy w granicy jest w³aœnie zbiorem Mandelbrota, czyli zbiorem tych wartoœci parametru c, dla których wyrazy ci¹gu z0, z1, z2, z3,... okreœlone zale¿noœci¹ rekurencyjn¹ zn+1 = zn2 + c le¿¹ wewn¹trz ko³a o sta³ym promieniu.

I tu waÂżna uwaga: zbiĂłr Mandelbrota jest w zasadzie czarno-biaÂły (punkt naleÂży do zbioru - czerĂą, nie naleÂży - biel), ale nic nie stoi na przeszkodzie, Âżeby go pokolorowaĂŚ. Robi siĂŞ to w taki sposĂłb, Âże zamiast stawiaĂŚ punkt lub go nie stawiaĂŚ, stawiamy punkt w kolorze zaleÂżnym od liczby punktĂłw mieszczÂących siĂŞ w kole. I tak, jeÂśli mieszczÂą siĂŞ wszystkie, to stawiamy punkt czarny, gdy 10% wychodzi poza koÂło - niebieski, gdy 20% - zielony, itd. Im wiĂŞcej kolorĂłw, tym oczywiÂście ciekawszy obrazek.
ZBIORY JULII


Konstrukcja zbioru Julii: zielony punkt rozpoczyna ciÂąg wychodzÂący poza koÂło i nie naleÂży do zbioru; czerwony punkt generuje ciÂąg zawarty w kole i naleÂży do zbioru

WeŸmy na przyk³ad ci¹g liczb zespolonych, ale okreœlonych trochê inn¹ zale¿noœci¹, ni¿ to by³o w wypadku zbioru Mandelbrota, a mianowicie zn + 1 = zn3 + c, zak³adaj¹c, ¿e pierwszy wyraz ci¹gu nie jest zerem. Tym razem ustalamy sobie z góry jakiœ parametr c, którego nie bêdziemy jednak zmieniaÌ. Mo¿emy natomiast w pewnych granicach zmieniaÌ pierwszy wyraz ci¹gu, czyli z0. Rysujemy uk³ad wspó³rzêdnych o osiach Re(z0), Im(z0) z odpowiednim ko³em, wybieramy zakres zmian jego wartoœci, rysuj¹c w uk³adzie jakiœ kwadrat, i dla ka¿dego punktu zawartego w tym kwadracie obliczamy L pierwszych wyrazów ci¹gu z0, z1, z2,... Jeœli wszystkie L wyrazów ci¹gu mieœci siê wewn¹trz naszego ko³a - stawiamy punkt o wspó³rzêdnych rozwa¿anego punktu z0 (a nie c, jak poprzednio) i przechodzimy do nastêpnego. Je¿eli warunek ten nie jest spe³niony, to przechodzimy do nastêpnej wartoœci z0 bez rysowania punktu.

Okazuje siê (mo¿na to z ³atwoœci¹ sprawdziÌ samemu), ¿e zbiory Julii dla wielomianów postaci zn + 1 = znk + c s¹ niezmiennicze przy obrocie wzglêdem pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych o k¹t 2pk (symetria k¹towa). Jeœli zaœ parametr c zmienimy na sprzê¿ony (liczba sprzê¿ona z dan¹ liczb¹ zespolon¹, to taka liczba, której czêœÌ urojona Im(z) ma przeciwny znak ni¿ ta pierwsza), to otrzymamy lustrzane odbicie zbioru wzglêdem osi Im(z) = 0. Jeœli za³o¿ymy, ¿e k jest nieparzyste i zamienimy c na przeciwne (zmienimy znak c) to obrócimy zbiór o 180 stopni. Zbiory Mandelbrota z kolei s¹ symetryczne wzglêdem osi Im(c) = 0, a przy nieparzystym k równie¿ wzglêdem osi Re(c) = 0.

GENEROWANIE FRAKTALI

W praktyce do generowania fraktali u¿ywa siê komputerów. Jest to o wiele prostsze i szybsze ni¿ œlêczenie nad kartk¹ z o³ówkiem i kalkulatorem. Wszystkie prezentowane tu obrazy zosta³y przeze mnie wygenerowane na komputerze. Istnieje ca³a masa gotowych programików, generuj¹cych fraktale i mo¿na z nich ³atwo skorzystaÌ. Pozwalaj¹ one na wygodne wprowadzanie parametrów, pozwalaj¹ tworzyÌ animacje, pokazuj¹ce na przyk³ad p³ynne powiêkszanie wycinka fraktala, pozwalaj¹ zapisywaÌ obrazki na dysku i drukowaÌ je. S¹ one dostêpne najczêœciej jako tzw. freeware, czyli programy darmowe, za u¿ywanie których nic siê nie p³aci, lub tzw. shareware, tzn. programy, które mo¿na u¿ywaÌ za darmo tylko pewien czas (okreœlony przez autora), póŸniej zaœ nale¿y przes³aÌ autorowi pieni¹dze - na ogó³ znikome kwoty - b¹dŸ zrezygnowaÌ z u¿ywania programu. Programy tego typu mo¿na znaleŸÌ w Internecie.


a na koniec fraktalna monaliza

[MEM HEI SHIN]

TrochĂŞ podstaw dotyczÂących fraktali

DOMINIK SZCZERBA
FRAKTALNE OBLICZE NATURY
ArtykuÂł pochodzi z "Wiedzy i ÂŻycia"nr 10/1996

Heh... podziwiam Ciê Micha³ Anio³.Sk¹d ty bierzesz w tak szybkim tempie tyle ró¿nej ¿ród³owej wiedzy i to z ró¿nych tematów. ?
Ja to mam z tym niestety problem. Bo zanim coÂś znajdĂŞ konkretnego na necie to mijajÂą caÂłe godziny, a nie ''dorobiÂłem'' siĂŞ takiego skarbczyka, Âże kliknĂŞ i juÂż ma to co chcĂŞ.

[brahman]

witam 1

OdpowiedÂź dla MHS.
Wg mojej wiedzy zapis wszystkich informacji znajduje siĂŞ we wszechÂświecie przyczynowym. ZobrazujĂŞ to rysunkiem. OczywiÂście to jest moje widzenie i nikomu nie chcĂŞ tego narzucaĂŚ.

[brahman]

Witam !

MHS napisaÂłeÂś, Âże ;
fraktal istnieje wtedy, gdy mamy do czynienia z choÌby z jedn¹ geometri¹ kaszta³tu, w której wystêpuje wspó³zale¿noœÌ F- 0.618.
Im wiĂŞkszy odstĂŞp od  0,618 tym ''mniejszy fraktal''.

No i powstaÂł problem, moÂże teÂż go nie ma  bo chcĂŞ przedstawiĂŚ fraktal


ktĂłry powstaÂł z nastĂŞpujÂących ciÂągĂłw liczb:
Transform 1 - o,419573 ; 0,437207 ; 0,14322
Transform 2 - 0,419573 ; 0,207207 ; 0,23 ; 0,14322
Transform 3 - 0,207207 ; 0,419573 ; 0,23 ; 0,14322
Transform 4 - 1