Fraktalna rzeczywistoœÌ

[MichaÂł-AnioÂł]

Poznanie geometryczne dotyczy tego, co wieczne - stwierdzi³ Platon ponad dwa tysi¹ce lat temu. ŒwiadomoœÌ tego towarzyszy³a cz³owiekowi od zarania dziejów. Najpierw przez wieki próbowano okreœliÌ geometryczny kszta³t Ziemi, potem kszta³t orbit cia³ niebieskich, by w czasach nowo¿ytnych - dziêki geniuszowi Einsteina - opisaÌ kszta³t czasoprzestrzeni.
Wszystkie te wielkie akty poznania mog³y nast¹piÌ w wyniku rozwoju geometrii, która wyznacza³a drogi opisu œwiata rzeczywistego, z³o¿onego z nieogarniêtej liczby obiektów o przeró¿nych kszta³tach i formach przestrzennych. Jednak ani klasyczna geometria Euklidesa, ani geometria eliptyczna i hiperboliczna nie wystarcza³y do opisu ca³ej z³o¿onoœci Natury. Przede wszystkim dlatego, i¿ geometrie te bada³y w³asnoœci figur wyidealizowanych, doskona³ych w swym kszta³cie okrêgów, elips, trójk¹tów, kul itp., w kontekœcie odwzorowaù izometrycznych. Dopiero nowa geometria rozwijaj¹ca siê od koùca ubieg³ego stulecia - topologia - stworzy³a podstawy do rozwa¿aù nad holistycznymi w³asnoœciami obiektów, nad homomorfizmami (tj. bijekcjami w obie strony ci¹g³ymi).
"Chmury nie s¹ kulami, góry sto¿kami, linie brzegowe ko³ami, kora nie jest p³aska, ani te¿ b³yskawica nie porusza siê po linii prostej" - napisa³ w The Fractal Geometry of Nature Mandelbrot (1982: 1). Wnikaj¹c g³êbiej w ten problem, dla uchwycenia nieregularnoœci obiektów spotykanych w rzeczywistoœci, Mandelbrot odkry³ nowe formy geometryczne, które od ³aciùskiego s³owa fractus ("z³amany") nazwa³ fraktalami.
Fraktale cechujÂą nastĂŞpujÂące wÂłasnoÂści geometryczne i algebraiczne:
(1) nie posiadajÂą unikalnej, charakterystycznej dla nich skali dÂługoÂści, gdyÂż powiĂŞkszone lub pomniejszone nie zmieniajÂą swych ksztaÂłtĂłw,
(2) s¹ samopodobne na ka¿dym poziomie obserwacji (pomiaru) w tym sensie, ¿e po wyciêciu z nich dowolnej ma³ej czêœci i jej powiêkszeniu powstanie obiekt wiernie naœladuj¹cy ca³oœÌ,
(3) przedstawione w sposĂłb analityczny, opisywane sÂą zaleÂżnoÂściami rekurencyjnymi, a nie wzorami matematycznymi.
Tradycyjne figury geometryczne takie jak koÂła, trĂłjkÂąty czy kwadraty, nie speÂłniajÂą tych wÂłasnoÂści. WyciĂŞty fragment kwadratu nie przypomina caÂłego kwadratu. JednoczeÂśnie jednak niektĂłre z tych figur, np. koÂło, poddajÂą siĂŞ procedurze renormalizacji opartej na pojĂŞciu samopodobieĂąstwa, czyli tendencji do wielopoziomowego powtarzania identycznych struktur geometrycznych.
W czystej matematyce takie obiekty zosta³y zdefiniowane znacznie wczeœniej (oczywiœcie nie nazywano ich fraktalami), by³y one traktowane jako swego rodzaju przypadki szczególne, "monstra", które w pewnym sensie potwierdza³y ograniczon¹ zdolnoœÌ poznania klasycznej geometrii. W dzisiejszej terminologii nazywane s¹ one fraktalami deterministycznymi. Natomiast fraktale spotykane w rzeczywistoœci (nie sztuczne) okreœla siê jako losowe.

<a href="http://www.youtube.com/v/skLnKkUe7_U&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/skLnKkUe7_U&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;" target="_blank">http://www.youtube.com/v/skLnKkUe7_U&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/skLnKkUe7_U&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;</a>

<a href="http://www.youtube.com/v/ccA9SkQXj8U&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/ccA9SkQXj8U&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;" target="_blank">http://www.youtube.com/v/ccA9SkQXj8U&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/ccA9SkQXj8U&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;</a>

<a href="http://www.youtube.com/v/J0kguWUhu3k&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/J0kguWUhu3k&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;" target="_blank">http://www.youtube.com/v/J0kguWUhu3k&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/J0kguWUhu3k&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;</a>


<a href="http://www.youtube.com/v/STBQGnlgn2s&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/STBQGnlgn2s&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;" target="_blank">http://www.youtube.com/v/STBQGnlgn2s&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/STBQGnlgn2s&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;</a>

<a href="http://www.youtube.com/v/GXHrc_bpDDU&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/GXHrc_bpDDU&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;" target="_blank">http://www.youtube.com/v/GXHrc_bpDDU&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/GXHrc_bpDDU&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;</a>

<a href="http://www.youtube.com/v/nlAci7Ugc0c&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/nlAci7Ugc0c&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;" target="_blank">http://www.youtube.com/v/nlAci7Ugc0c&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowFullScreen&quot; value=&quot;true&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;param name=&quot;allowscriptaccess&quot; value=&quot;always&quot;&gt;&lt;/param&gt;&lt;embed src=&quot;http://www.youtube.com/v/nlAci7Ugc0c&amp;hl=pl_PL&amp;fs=1&amp;&quot; type=&quot;application/x-shockwave-flash&quot; allowscriptaccess=&quot;always&quot; allowfullscreen=&quot;true&quot; width=&quot;640&quot; height=&quot;385&quot;&gt;&lt;/embed&gt;&lt;/object&gt;</a>

Poniewa¿ fraktale obrazuj¹ z³o¿onoœÌ tak struktur matematycznych jak i œwiata rzeczywistego, powstaje pytanie, jak mierzyÌ stopieù skomplikowania ich kszta³tu? Wiadomo, ¿e d³ugoœÌ linii brzegowych fraktali d¹¿y do nieskoùczonoœci, przeto d³ugoœÌ linii brzegowych nie jest dobr¹ miar¹ z³o¿onoœci kszta³tu tych obiektów. Lepsz¹ miarê zaproponowa³ Mandelbrot w postaci pojêcia "wymiaru fraktalnego", który okreœla stopieù meandrowania krzywej i jest w pewnym sensie miar¹ wype³nienia przestrzeni, w której ta krzywa jest zanurzona. W matematyce o takiej krzywej mówi siê, ¿e "czuje" przestrzeù (por. Schroeder 1991: 10). Pojêcie wymiaru fraktalnego prowadzi do zaskakuj¹cych spostrze¿eù i narusza powszechnie utrwalone w œwiadomoœci ludzkiej wyobra¿enia o wymiarowaniu obiektów liniowych, powierzchniowych i objêtoœciowych.
Mimo iÂż wydaje siĂŞ zupeÂłnie oczywiste, Âże punkt ma wymiar 0, linia wymiar 1, pÂłaszczyzna wymiar 2, a przestrzeĂą jest trĂłjwymiarowa, to jednak pojĂŞcie wymiaru w matematyce ma dÂługÂą i niezupeÂłnie jeszcze zakoĂączonÂą historiĂŞ.
Na potrzebê g³êbszej analizy i bardziej precyzyjnego definiowania pojêcia wymiaru pierwszy zwróci³ uwagê PoincarÊ w 1912 r. Stwierdzi³, ¿e "prosta jest jednowymiarowa, poniewa¿ mo¿na rozdzieliÌ dowolne dwa punkty na niej przecinaj¹c j¹ w jednym punkcie (który ma wymiar 0), natomiast p³aszczyzna jest dwuwymiarowa, poniewa¿ dla rozdzielenia dowolnych dwóch punktów na p³aszczyŸnie musimy wyci¹Ì ca³¹ krzyw¹ zamkniêt¹ (maj¹c¹ wymiar 1). Nasuwa to myœl indukcyjnej natury wymiarowoœci: dana przestrzeù jest n-wymiarowa, je¿eli mo¿na rozdzieliÌ dwa dowolne jej punkty usuwaj¹c podzbiór (n-1)-wymiarowy, i je¿eli podzbiór mniejszego wymiaru nie zawsze do tego wystarcza" (Courant, Robbins 1961: 323).
PowyÂższe stwierdzenia wykazujÂą, Âże towarzyszÂące czÂłowiekowi odczucie natury wymiarowoÂści nawiÂązuje wÂłaÂśnie do topologicznego wymiaru obiektĂłw, tak matematycznych jak i naturalnych.

CaÂły text znajdziesz tu:
http://www.zep.amu.edu.pl/pl/wp-content/Fraktale.pdf

[VAV EL]

.

W lipcowym numerze /2010r/ "Wiedzy i Zycia" ukazaÂł siĂŞ wywiad z "Panem od Fraktali" - Benoit Mendelbrotem:

artykuÂł:
http://picasaweb.google.pl/darekry/WIZ#

.